Question

2．在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数的图象与反比例函数y=$\frac{8}{x}$的图象交于点A（m，4）．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）将正比例函数的图象向下平移6个单位得到直线l，设直线l与x轴的交点为B，求∠ABO的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由于点A经过（m，4）所以可求出m=2，再将A（2，4）代入反比例函数中即可求出k的值．
（2）先求平移后的直线l的解析式，然后求出B的坐标，利用勾股定理可求出AB的长度，利用正弦的定义即可求出∠ABO的正弦值．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{8}{x}$的图象经过A（m，4），
∴4=$\frac{8}{m}$，解得m=2．
∴点A的坐标为（2，4）．
设正比例函数的解析式为y=kx，
∵正比例函数的图象经过点A（2，4），
∴可得 4=2k，解得k=2．
∴正比例函数的解析式是y=2x

（2）∵正比例函数向下平移6个单位得到直线l，
∴直线l的表达式为y=2x-6
∵直l与x轴的交点为B，
∴点B的坐标是（3，0）
∴由勾股定理可知：AB=$\sqrt{17}$．
∴sin∠ABO=$\frac{4}{\sqrt{17}}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$

点评 本题考查反比例函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，解直角三角形，勾股定理，锐角三角形灯知识，本题属于中等题型．