Question

（2013•平阳县二模）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（4，3），点B从点O出发以每秒一个单位的速度向点A运动，当点B到达A点时运动停止．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，以BC为边在右侧作正方形BCDE．连接OE交BC于点F，连接AE并延长交x轴的正半轴于点G，连接FG．设点B的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）直接写出正方形BCDE的边长：

3

5

t

（用含t的代数式表示）；
（2）用含t的代数式表示△OAG的面积S；
（3）当△OBE∽△OEA时（点E与点A对应，点O与点O对应），t的值是多少？，
（4）若M是点E关于直线FG的对称点，是否存在t的值，使得四边形EFMG是平行四边形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用A点坐标得出

BC

BO

=

3

5

，进而求出即可；
（2）利用BE∥OG，则△ABE∽△AOG，得出

BE

OG

=

AB

AO

，进而得出OG的长，即可得出答案；
（3）当△OBE∽△OEA时，则

OB

OE

=

OE

OA

，求出OE²=OB•OA=5t，进而利用勾股定理得出t的值；
（4）首先证明Rt△BEF≌Rt△DEG（HL），进而证明△FBE∽△EDO，则

BF

DE

=

BE

OD

，再利用DG=OD-OG或DG=OG-OD求出t的值．

解答：解：（1）∵点A的坐标为（4，3），OB=t，
∴

BC

BO

=

3

5

，
∴BC=

3

5

t，
即正方形BCDE的边长：

3

5

t （用含t的代数式表示）；
故答案为：

3

5

t；

（2）∵BE∥OG，
∴△ABE∽△AOG，
∴

BE

OG

=

AB

AO

，即

3 5 t

OG

=

5-t

5

，
∴OG=

3t

5-t

∴S△AOG=

1

2

×

3t

5-t

×3=

9t

10-2t

；

（3）当△OBE∽△OEA时，
∴

OB

OE

=

OE

OA

，
∴OE²=OB•OA=5t，
∵Rt△ODE中，OE²=OD²+DE²=(

4

5

t+

3

5

t)2+(

3

5

t)2=

58

25

t2
∴5t=

58

25

t2，
∴t₁=0（舍去），t₂=

125

58

；

（4）∵M是点E关于直线FG的对称点，
∴EF=MF，EG=MG
若四边形EFMG是平行四边形，则平行四边形EFMG是菱形，EF=EG，
在Rt△BEF和Rt△DEG中，

EF=EG BE=DE

，
∴Rt△BEF≌Rt△DEG（HL），
∴DG=BF，
∵BE∥CO，
∴∠BEF=∠COE，
∵∠EBF=∠ODE，
∴△FBE∽△EDO，
∴

BF

DE

=

BE

OD

即

BF

3 5 t

=

3 5 t

7 5 t

=

3

7

，
∴BF=

9

35

t=DG，
①如原图，DG=OD-OG=

7

5

t-

3t

5-t

=

9

35

t，
∴解得：t=

19

8

②如备用图，DG=OG-OD=

3t

5-t

-

7

5

t=

9

35

t，
∴解得：t=

185

58

．

点评：此题主要考查了相似形综合应用以及菱形的判定、勾股定理和相似三角形的判定与性质等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．