Question

（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由．
（2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求证△ACN≌△MCB，得出AN=BM，∠ANC=∠MBA，再证△NFC≌△BEC，得出CE=CF，∠BCE=∠NCF，利用等边三角形的角度60，得出∠ECF=60°，证得结论成立；
（2）证明过程如上（1）中的结论只有CE=CF，而∠ECF只等于等腰三角形的顶角≠60°，得出结论不成立．

解答：（1）如图1，

△CEF是等边三角形，
理由：∵等边△ACM和△CBN，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中

AC=MC ∠ACN=∠MCB NC=BC

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=MB，∠ANC=∠MBA，
在△NFC和△BEC中，

NF=BE ∠FNC=∠EBC NC=BC

，
∴△NFC≌△BEC（SAS），
∴EC=CF，
∵∠BCE+∠ECN=60°，∠BCE=∠NCF，
∴∠ECF=60°，
∴△CEF是等边三角形；

（2）如图2，

不成立，首先∠ACN≠∠MCB，
∴△ACN与△MCB不全等．
如果有两个等腰三角形的顶角相等，那么结论也不成立，
证明方法与上面类似，只能得到CE=CF，而∠ECF只等于等腰三角形的顶角≠60°．

点评：此题综合考查等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点．