Question

如图，已知O是平行四边形ABCD对角线AC的中点，过O的直线EF分别交AB、CD于E、F两点．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）填空：不添加辅助线，则图中全等的三角形共有______对．

Answer 1

（1）证明：在?ABCD中，AB∥CD，
∴∠EAO=∠FCO，
又∵OA=OC，∠EOA=∠FOC，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形．

（2）解：由（1）知△AOE≌△COF，
∴OE=OF，∠FOA=∠EOC，OA=OC，
∴△AOF≌△COE（SAS），
∵FC=EA，AF=CE，AC=AC，
∴△AFC≌△CEA（SSS），
∵FC=EA，CE=AF，EF=FE，
∴△AFE≌△CEF（SSS），
∵AD=CB，DC=BA，AC=CA，
∴△ADC≌△CBA（SSS），
∵AD=CB，∠D=∠B，DF=BE，
∴△ADF≌△CBE（SAS）．
因此，共6对．
分析：（1）在题中通过全等可证三角形CFO和三角形AEO全等，从而OE=OF，再者OA=OC，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可证．
（2）平行四边形的对角线将把四边形分成四组全等三角形，因此在?AECF中有四对，再加上原?ABCD中两对，一共有六对．
点评：此题主要借助三角形全等考查了平行四边形的判定，难易程度适中．熟练掌握判定定理是解题的关键．