Question

17．如图，已知△ABC，∠ACB=90°，AC＜BC，点D为AB的中点，过点D作BC的垂线，垂足为点F，过点A、C、D作⊙O交BC于点E，连接CD、DE．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AC=3，BC=9，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接DO并延长交AC于M，证出$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，由垂径定理得出DM⊥AC，证出DM∥BC，由已知得出DF⊥DO，即可得出DF为⊙O的切线；
（2）由（1）得出DF=$\frac{1}{2}$AC=1.5，CF=BF=$\frac{1}{2}$BC=4.5，作ON⊥CE于N，连接OA，由垂径定理得出CN=EN=$\frac{1}{2}$CE，AM=CM=ON=DF=1.5，设⊙O的半径为r，在△AOM中，由勾股定理求出半径，得出CN=EN=OM=2，CE=4，求出EF=4.5-4=0.5，再由勾股定理求出DE即可．

解答 （1）证明：连接DO并延长交AC于M，如图1所示：
∵∠ACB=90°，AC＜BC，点D为AB的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，
∴$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，
∴DM⊥AC，
∴DM∥BC，
∵DF⊥BC，
∴DF⊥DO，
∴DF为⊙O的切线；
（2）解：由（1）得：AC∥DF，
∵点D为AB的中点，
∴DF=$\frac{1}{2}$AC=1.5，CF=BF=$\frac{1}{2}$BC=4.5，
作ON⊥CE于N，连接OA，如图2所示：
则CN=EN=$\frac{1}{2}$CE，AM=CM=ON=DF=1.5，
设⊙O的半径为r，
在△AOM中，由勾股定理得：1.5²+（4.5-r）²=r²，
解得：r=2.5，
∴CN=EN=OM=4.5-2.5=2，
∴CE=4，
∴EF=4.5-4=0.5，
∴DE=$\sqrt{E{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{0．{5}^{2}+1．{5}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理，垂径定理等知识；熟练掌握切线的判定，由勾股定理求出半径是解决问题（2）的关键．