Question

如图，CB∥OA，∠B=∠A=100°，E、F在CB上，且满足∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF．
（1）求∠EOC的度数；
（2）若平行移动AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AC的过程中，是否存在某种情况，使∠OEB=∠OCA？若存在，求出∠OCA度数；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵CB∥OA，
∴∠BOA+∠B=180°，
∴∠BOA=80°，
∵∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF，
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC=∠BOF+∠FOA=（∠BOF+∠FOA）=×80°=40°；

（2）不变．
∵CB∥OA，
∴∠OCB=∠COA，∠OFB=∠FOA，
∵∠FOC=∠AOC，
∴∠COA=∠FOA，即∠OCB：∠OFB=1：2．

（3）在平行移动AC的过程中，存在∠OEB=∠OCA，且∠OCA=60°．
设∠OCA=α，∠AOC=x，
∵∠OEB=∠COE+∠OCB=40°+x，
∠ACO=80°-x，
∴α=80°-x，40°+x=α，
∴x=20°，α=60°．
分析：（1）由于BC∥OA，∠B=100°，易求∠AOB，而OE、OC都是角平分线，从而可求∠COE；
（2）利用BC∥OA，可知∠AOC=∠BCO，又因为∠AOC=∠COF，所以就有∠FCO=∠FOC，即∠BFO=2∠FCO=2∠OCB，那么∠OCB：∠OFB=1：2；
（3）设∠OCA=α，∠AOC=x，根据三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平行线的性质可得，α+x=80°，40°+x=α，解即可．
点评：两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．