Question

In the figure1，ABCD is a diamond，points E and F lie on its sides AB and BC respectively，such that

AE

BE

=

BF

CF

，and△DEFis a regular triangle． Then∠BADis equal to （　　）（英汉小词典：diamond菱形；regular triangle正三角形）

• A、40°
• B、60°
• C、80°
• D、100°

Answer 1

分析：根据菱形ABCD中，

AE

BE

=

BF

FC

，和AB=BC，等边△DEF，利用余弦定理可以求出，即可得∠BAD的值．

解答：解：设菱形ABCD边长为x，AE=a，等边△DEF边长为y，
∵

AE

BE

=

BF

FC

，AB=BC，
∴AE=FB，BE=CF，
∴AE=BF=a，BE=CF=x-a，
∵△DEF是正三角形，
∠A=∠C，∠B=180°-∠A，
cosA=cos（180-B）=-cosB，
EF²=BE²+FB²-2BE•FBcosB，
=（x-a）²+a²-2（x-a）a•cosB，①
DE²=AD²+AE²-2AD•AEcosA，
=x²+（x-a）²-2x（x-a）cosA，②
②-①得：
x²-a²-2（x-a）cosA（x+a），
∴x²-a²=2（x-a）cosA（x+a），
∴2cosA=1，
∴cosA=

1

2

，
∴∠BAD=60°，
故选 B．

点评：本题考查了全等三角形的证明，考查了等边三角形各边长相等、各内角为60°的性质，考查了菱形各边长相等的性质，利用余弦定理得出是解题的关键．