Question

【题目】如图，已知直线y=﹣x+2与抛物线y=a（x+2）2相交于A、B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点．

（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；

（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为，点P的横坐标为x，请求出与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；

（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）、A（0,2）；y=；（2）、；﹣5＜x＜0；（3）、P1（﹣4，4）、P2（﹣，）、P3（﹣，）

【解析】

试题分析：（1）、根据一次函数的交点得出点A的坐标，从而得出抛物线的解析式；（2）、连接PM，过点P作PD⊥x轴于点D，设P的坐标是（x，﹣x+2），根据Rt△PDM的勾股定理得出函数解析式；（3）、首先求出AM=2，然后分PM=PA，PM=AM和PA=AM三种情况列出方程，从而求出x的值，得出点P的坐标.

试题解析：（1）、A的坐标是（0，2） 抛物线的解析式是y=（x+2）2

（2）、如图，P为线段AB上任意一点，连接PM

过点P作PD⊥x轴于点D 设P的坐标是（x，﹣x+2），则在Rt△PDM中PM2=DM2+PD2

即l2=（﹣2﹣x）2+（﹣x+2）2=x2+2x+8

P为线段AB上一个动点，故自变量x的取值范围为：﹣5＜x＜0，

（3）、存在满足条件的点P 连接AM，由题意得：AM==2

①当PM=PA时，x2+2x+8=x2+（﹣x+2﹣2）2

解得：x=﹣4 此时y=﹣×（﹣4）+2=4

∴点P1（﹣4，4）

②当PM=AM时，x2+2x+8=（2）2

解得：x1=﹣ x2=0（舍去）

此时y=﹣×（﹣）+2=

∴点P2（﹣，）

③当PA=AM时，x2+（﹣x+2﹣2）2=（2）2

解得：x1=﹣ x2=（舍去）

此时y=﹣×（﹣）+2=

∴点P3（﹣，）

综上所述，满足条件的点为：

P1（﹣4，4）、P2（﹣，）、P3（﹣，）