【题目】如图,在中,,点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动,同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点运动的时间是.过点作于点连结
(1)求证:;
(2)四边形能够成为菱形吗?如果能,求出相应的值,如果不能,说明理由;
(3)当为何值时,为直角三角形?请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)能,;(3)或.理由见解析.
【解析】
(1)根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出,从而证出结论;
(2)根据平行四边形的判定定理可证四边形是平行四边形,然后根据菱形的定义可得当时,四边形是菱形,然后列出方程即可求出结论;
(3)根据直角三角形的直角分类讨论,分别画出对应的图形,根据平行四边形的性质、30°所对的直角边是斜边的一半即可分别求出结论.
证明:
在中,,
又
四边形是平行四边形.
当时,四边形是菱形,
,
解得
当时,四边形能够成为菱形.
解:①当时,
解得.
②当时,
四边形是平行四边形,
是直角三角形.
,
解得;
③当∠DFE=90°时,此时点E和点B重合,但,点E与点B不重合,故此种情况不存在.
综上所述:或.
当或时,为直角三角形.
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【题目】东营市某中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动,全校师生踊跃捐赠各类书籍共3000本.为了了解各类书籍的分布情况,从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计:A.艺术类;B.文学类;C.科普类;D.其他,并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
(1)这次统计共抽取_____本书籍,扇形统计图中的m=______,∠α的度数是_____
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍.
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【题目】定义新运算:.
例如:32=3(3-2)=3,-14=-1(-1-4)=5.
(1)请直接写出3a=b的所有正整数解;
(2)已知2a=5b-2m,3b=5a+m,说明:12a+11b的值与m无关;
(3)已知a>1,记M=abb,N=bab,试比较M,N的大小.
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【题目】初二年级为了了解学生上学的交通方式,现从初二年级学生中随机抽取了部分学生进行“我上学的交通方式”问卷调査,规定每人必须并且只能在“乘车”、“步行”、“骑车”和“其他”四项中选择一项,并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
请解答下列问题:
(1)在这次调査中,一共抽样调査了 名学生;
(2)扇形统计图中骑车所在扇形的圆心角的度数为 °;
(3)补全条形统计图;
(4)若初二年级共有1500名学生,试估计初二年级学生中选择“步行”方式的人数.
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【题目】阅读下列材料:通过小学的学习我们知道,分数可分为“真分数”和“假分数”.而假分数都可化为带分数,如:.我们定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.如:,这样的分式就是假分式;再如:,这样的分式就是真分式.类似的,假分式也可以化为带分式(即:整式与真分式的和的形式).如:;再如:.
解决下列问题:
(1)分式是_____分式(填“真分式”或“假分式”);
(2)把假分式化为带分式的形式(写出过程);
(3)如果分式的值为整数,那么的整数值为_____.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C,M是BC的中点,P是A′B′的中点,连接PM,若BC=2,∠BAC=30°,则线段PM的最大值是_____.
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【题目】已知∠AOB=90°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合,它的两条直角边分别与OA,OB(或它们的反向延长线)相交于点D,E.
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①),易证:OD+OE=OC;
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时,即在图②,图③这两种情况下,上述结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段OD,OE,OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC于点F.
(1)判断DF与是⊙O的位置关系,并证明你的结论。
(2)若⊙O的半径为4,∠CDF=22.5°,求阴影部分的面积.
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,且AB=AE,延长AB与DE的延长线交于点F.下列结论中:①△ABC≌△AED;②△ABE是等边三角形;③AD=AF;④S△ABE=S△CDE;⑤S△ABE=S△CEF.其中正确的是_____.
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