Question

如图，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA=3，AB=2．抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A和点B，与x轴分别交于点D、E（点D在点E左侧），且OE=1，则下列结论：
①a＞0；②c＞3；③2a-b=0；④4a-2b+c=3；⑤连接AE、BD，则S_梯形ABDE=9．
其中正确结论的个数为（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

【答案】分析：由抛物线开口向下得到a小于0，故选项①错误，由OA的长得出A的坐标，可得出c的值，判断选项②错误；由A和关于对称轴对称，且根据AB的长，得出抛物线的对称轴为直线x=-1，利用对称轴公式可得出a与b的关系式，整理后即可对选项③作出判断；由OA与AB的长，求出B的坐标，将B的坐标代入抛物线解析式中得到a，b及c的关系式，即可对选项④作出判断；由对称性得到CD=OE，由OE的长求出CD的长，再由CD+OC+OE求出DE的长，即为梯形的下底，上底为AB，高为OA，利用梯形的面积公式即可求出梯形ABDE的面积，即可对选项⑤作出判断，综上，得到正确选项的个数．
解答：解：由函数图象可得：抛物线开口向下，
∴a＜0，选项①错误；
又OA=3，AB=2，
∴抛物线与y轴交于A（0，3），即c=3，选项②错误；
又A和B关于对称轴对称，且AB=2，
∴对称轴为直线x=-=-1，即2a-b=0，选项③正确；
∴B（-2，3），
将x=-2，y=3代入抛物线解析式得：4a-2b+c=3，选项④正确；
由OE=1，利用对称性得到CD=OE=1，又OC=AB=2，
∴DE=CD+OC+OE=1+2+1=4，又OA=3，
则S_梯形ABDE=OA（AB+DE）=9，选项⑤正确，
综上，正确的个数为3个．
故选C．
点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，利用了数形结合的思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，做本题时注意灵活运用．