Question

20．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）猜想∠1、∠2、∠3的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，将折一次改为折二次，若∠1=40°，∠2=60°，∠3=70°，则∠4=50°．
（3）如图3，若改为折多次，直接写出∠1，∠2，∠3，…，∠2n-1，∠2n之间的数量关系：∠1+∠3+∠5+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n．

Answer 1

分析 （1）过点O作直线GH∥AB，根据平行线的性质得到∠1=∠EOF，∠3=∠FOH，根据角的和差即可得到结论；
（2）过M作OM∥AB，PN∥AB，根据平行线的性质得到∠1=∠EMO，∠4=∠PNF，∠OMN=∠PNM，由角的和差得到∠EMN-∠MNF=（∠1+∠MNP）-（∠MNP+∠4）=∠1-∠4，代入数据即可得到结论；
（3）根据（1）、（2）的过程可直接得出结论．

解答 解：（1）如图1，∠2=∠1+∠3，
理由：过点O作直线GH∥AB，
∵GH∥AB，
∴∠1=∠EOF，
∵GH∥AB，CD∥AB，
∴GH∥CD，
∴∠3=∠FOH，
∴∠2=∠EOH+∠FOH=∠1+∠3；（2）满足的关系式是：∠BEO+∠P=∠O+∠PFC，
（2）如图2，过M作OM∥AB，PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OM∥PN∥CD，
∴∠1=∠EMO，∠4=∠PNF，∠OMN=∠PNM，
∴∠EMN-∠MNF=（∠1+∠MNP）-（∠MNP+∠4）=∠1-∠4，
∴60°-70°=40°-∠4，
∴∠4=50°．
故答案为：50°；
（3）由（1）、（2）可知，如果两平行线间存在一条折线，则所有同向角的和相等；或者：向左凸出的角的和等于向右面凸出的角的和．
即∠1+∠3+∠5+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n．
故答案为：∠1+∠3+∠5+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n．

点评 本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．