四边形ADBC是由等边△ABC和顶角为120°的等腰△ABD拼成.将一个60°角顶点放在点D处.60°角两边分别交直线BC.AC于M.N.交直线AB于F.E两点．(1)当E.F分别在边AB上时.试问 2AE.BM.AC三者之间有怎样的数量关系?请证明你的结论．(2)当E.F分别在射线AB.BA上时..2AE.BM.AC三者之间又有怎样的数量关系.请直接写出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

四边形ADBC是由等边△ABC和顶角为120°的等腰△ABD拼成，将一个60°角顶点放在点D处，60°角两边分别交直线BC、AC于M、N，交直线AB于F、E两点．

（1）当E、F分别在边AB上时（如图1），试问 2AE、BM、AC三者之间有怎样的数量关系？（提示连接CD）请证明你的结论．
（2）当E、F分别在射线AB、BA上时，（如图2、图3），2AE、BM、AC三者之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论．
（3）如图3，连接MN，若AB=8，MN=16，AN=2，则AE=

．

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）连接CD，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线可得CD垂直平分AB，再根据等腰三角形和等边三角形的对称性求出∠BCD=30°，根据等腰三角形两底角相等求出∠BAD=30°，从而得到∠BCD=∠BAD，再求出∠ADE=∠DEM，然后根据两角对应相等两三角形相似求出△ADE和△CDM相似，根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解；
（2）与（1）求解思路相同；
（3）把△ADN绕点D顺时针旋转120°得到△BDH，根据∠DAN=∠DBC=90°判断出点H在BC上，再求出∠MDN=∠MDH，然后利用“边角边”证明△MDN和△MDH全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MH，然后求出CM，再根据AE=

CM求解即可．

解答：解：（1）如图1，连接CD，
∵△ABC是等边三角形，△ABD是等腰三角形，
∴AC=BC，AD=BD，
∴CD垂直平分AB，
∴∠ACD=∠BCD=

×60°=30°，
∵∠ADB=120°，
∴∠BAD=

（180°-120°）=30°，
∴∠BCD=∠BAD，

∵∠ADE+∠CDN=∠CDM+∠CDN=60°，
∴∠ADE=∠CDM，
在△ADE和△CDM中，

∠BCD=∠BAD

∠ADE=∠CDM

，
∴△ADE∽△CDM，
∴

，
∵∠CAD=∠BAC+∠BAD=60°+30°=90°，∠ACD=30°，
∴CD=2AD，
∴AE=

CM=

（BC-BM）=

（AC-BM），
∴2AE+BM=AC；

（2）同理可求∠BCD=∠BAD=30°，
∵∠ADE=∠ADC+∠CDN=60°+∠CDN，
∠CDM=∠MDN+∠CDN=60°+∠CDN，
∴∠ADE=∠CDM，
在△ADE和△CDM中，

∠BCD=∠BAD

∠ADE=∠CDM

，
∴△ADE∽△CDM，
∴

，
∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=60°+30°=90°，∠ACD=30°，
∴CD=2AD，
∴AE=

CM=

（BC+BM）=

（AC+BM），
∴2AE=BM+AC；

（3）如图3，把△ADN绕点D顺时针旋转120°得到△BDH，
∵∠DAN=∠DBC=60°+30°=90°，
∴点H在BC上，
∴DN=DH，
∵∠MDH=∠120°-∠MDN=120°-60°=60°，
∴∠MDN=∠MDH，
在△MDN和△MDH中，

DN=DH

∠MDN=∠MDH

DM=DM

，
∴△MDN≌△MDH（SAS），
∴MN=MH，
∴CM=MH-CH=MN-（BC-BH）=16-（8-2）=10，
∴AE=

CM=

×10=5．
故答案为：5．

点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，（1）（2）求出相似三角形是解题的关键，（3）作辅助线构造出全等三角形并求出CM的长度是解题的关键．

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