Question

如图，在△ABC 中，∠ABC=∠CAB=72°，将△ABC绕点A顺时针旋转α度（36°＜α＜180°）得到△ADE，连接CE，线段BD（或其延长线）分别交AC、CE于G、F点．
（1）求证：△ABG∽△FCG；
（2）在旋转的过程中，是否存在一个时刻，使得△ABG与△FCG全等？若存在，求出此时旋转角α的大小．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形的性质和已知条件可以推出∠BAC=∠DAE=72°，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE，然后根据三角形的内角和定义，推出∠ABD=∠ECA，继而推出△ABG和△FCG形似；
（2）根据全等三角形的判定定理，当BG=CG时，△ABG与△FCG全等，然后根据BG=CG，结合已知条件推出∠GCB=∠GBC=36°，得∠CAE的度数，即可知旋转角α的大小

解答：解：（1）证法一：∵△AED是由△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴∠BAC=∠DAE=72°，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE（3分）
∴∠ABD=

180°-∠BAD 2

=

180°-∠CAE

2

=∠ECA，（5分）
又∵∠BGA=∠CGF，
∴△ABG∽△FCG（7分）
证法二：∵△AED是由△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴∠BAC=∠DAE=72°，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE（3分）
∴

AB

AC

=

AD

AE

，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠DBA=∠ECA（4分）
又∵∠BGA=∠CGF，
∴△ABG∽△FCG（7分）

（2）答：存在（8分）
由（1）知△ABG∽△FCG，∴当BG=CG时，△ABG≌△FCG，
∵∠ABC=∠CAB=72°，∴∠BCA=36°，又△ABG≌△FCG（已知）∴GB=GC，∴∠GCB=∠GBC=36°
又BA=AD∴∠FBA=∠BDA=72°-36°=36°，∴∠BAD=108°，即旋转角∠α=∠BAD=108°．

点评：本题主要考查同学们对于相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定等知识点的掌握，本题的关键在于根据已知求出各相关角的度数，找到相关的相似三角形．