【题目】如图,是的直径,点在上,,垂足为,,分别交延长线于点.
(1)过点作直线,使得,判断直线与的位置关系,并说理.
(2)若,,求的长.
(3)连接,探索线段与间的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)直线与相切,理由详见解析;(2) ;(3),证明详见解析.
【解析】
(1)连接OA,根据得到,由BC是直径,,得到,推出,利用得到,推出,即可得到直线与相切的结论;
(2)过点A作AM⊥BG于M,根据得到∠ACB=∠ABE,证得△AMB∽△BAC,得到,利用勾股定理求出BC=5,即可求出,再证明△ABM∽△GBA,求出BG=;
(3)在上截取,连接.证明,得到,由得到,推出.
(1)解:直线与相切,
理由:连接OA,
∵,
∴,
∵BC是直径,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴直线与相切.
(2)过点A作AM⊥BG于M,
∵,
∴∠ACB=∠ABE,
∵∠BAC=∠AMB=90°,
∴△AMB∽△BAC,
∴,
∵∠BAC=90°,,,
∴BC=5,
∴,
∴,
∵∠BAC=∠AMB=90°,∠ABM=∠GBA,
∴△ABM∽△GBA,
∴,
∴,
∴BG=;
(3).
理由:在上截取,连接.
∵ ,
∴,
又∵,
∴,
∴.
又∵,
∴,
∴.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=4,△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C,当A1落在AB边上时,连接B1B,取BB1的中点D,连接A1D,则A1D的长度是( )
A.B.C.D.6
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【题目】武汉“新冠肺炎”发生以来,某医疗公司积极复工,加班加点生产医用防护服,为防控一线助力.以下是该公司以往的市场调查,发现该公司防护服的日销售量y(套)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,如下图所示,关于日销售利润w(元)和销售单价x(元)的几组对应值如下表:
销售单价x(元) | 85 | 95 | 105 |
日销售利润w(元) | 875 | 1875 | 1875 |
(注:日销售利润=日销售量×(销售单价一成本单价))
(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围);
(2)根据函数图象和表格所提供的信息,填空:
该公司生产的防护服的成本单价是 元,当销售单价x= 元时,日销售利润w最大,最大值是 元;
(3)该公司复工以后,在政府部门的帮助下,原材料采购成本比以往有了下降,平均起来,每生产一套防护服,成本比以前下降5元.该公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本,如果在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?
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【题目】甲、乙两人加工同一种零件,甲每天加工的数量是乙每天加工数量的 1.5 倍,两人各加工 600 个这种零件,甲比乙少用 5 天.
(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件?
(2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是 150 元和 120 元,现有 3000 个这种零件的加工任务,甲单独加工一段时间后另有安排,剩余任务由乙单独完成.如果总加工费不超过 7800 元,那么甲至少加工了多少天?
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【题目】如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.
(1)求证:△AEC≌△BED;
(2)若∠1=42°,求∠BDE的度数.
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【题目】如图在平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,点A的坐标是(4,0),点p为边AB上的一点,CPB=60°,沿CP折叠正方形后,点B落在平面内B’处,B’的坐标为( )
A.(2, 2)B.(, 2-2)C.(2, 4-2)D.(, 4-2)
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【题目】如图,抛物线交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线经过点A,C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线AC于点M,设点P的横坐标为m.
①当是直角三角形时,求点P的坐标;
②作点B关于点C的对称点,则平面内存在直线l,使点M,B,到该直线的距离都相等.当点P在y轴右侧的抛物线上,且与点B不重合时,请直接写出直线的解析式.(k,b可用含m的式子表示)
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【题目】如图,△ABC和△ADE分别是以BC,DE为底边且顶角相等的等腰三角形,点D在线段BC上,AF平分DE交BC于点F,连接BE,EF.
(1)CD与BE相等?若相等,请证明;若不相等,请说明理由;
(2)若∠BAC=90°,求证:BF2+CD2=FD2.
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【题目】(1)发现
如图,点为线段外一动点,且,.
填空:当点位于____________时,线段的长取得最大值,且最大值为_________.(用含,的式子表示)
(2)应用
点为线段外一动点,且,.如图所示,分别以,为边,作等边三角形和等边三角形,连接,.
①找出图中与相等的线段,并说明理由;
②直接写出线段长的最大值.
(3)拓展
如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的坐标为,点为线段外一动点,且,,,求线段长的最大值及此时点的坐标.
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