Question

小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明你的理由．

Answer 1

解：E，F是BC的三等分点．理由：
连接OE，OF，

∵DE垂直平分OB
∴BE=OE（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），
同理OF=CF，
∴∠EBO=∠BOE，∠FCO=∠FOC，
∵等边三角形ABC中，
∴∠ABC=∠ACB=60°（等边三角形各角相等且为60°）
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠EBO=∠ABC=30°，∠FCO=∠ACB=30°
∴∠BOE=∠EBO=30°，∠FOC=∠FCO=30°
∴∠OEF=∠BOE+∠EBO=60°，∠OFE=∠FOC+∠FCO=60°，
∴△OEF是等边三角形（有两个内角60°的三角形是等边三角形）
∴OE=OF=EF（等边三角形各边相等）
∴BE=EF=FC，即E，F是BC的三等分点．
分析：连接OE，OF构建等腰三角形BOE和CFO，利用等腰三角形的“三线合一”推知的性质BE=OE、OF=CF，然后等边三角形ABC中，根据等边三角形的三个内角都是60°的性质、角平分线的性质证得△OEF是等边三角形（有两个内角60°的三角形是等边三角形）；最后由等边三角形OEF的三条边都相等、等量代换证明BE=EF=FC即E，F是BC的三等分点．
点评：本题综合考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质．解答该题时，充分利用了等腰三角形的底边上的高线、中线、对角的角平分线三线合一的特性．