Question

如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：

①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．

其中正确的是          （写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

考点：切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质。

解答：解：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；

连接BD，如图所示：

∵GD为圆O的切线，

∴∠GDP=∠ABD，

又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，

∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，

∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，

∴△APF∽△ABD，

∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，

∴∠GDP=∠GPD，

∴GP=GD，选项②正确；

∵直径AB⊥CE，

∴A为的中点，即=，

又C为的中点，∴=，

∴=，

∴∠CAP=∠ACP，

∴AP=CP，

又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，

∴∠PCQ=∠PQC，

∴PC=PQ，

∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，

∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；

连接CD，如图所示：

∵=，

∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA，

∴△ACQ∽△BCA，

∴=，即AC²=CQ•CB，

∵=，

∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，

∴△ACP∽△ADC，

∴=，即AC²=AP•AD，

∴AP•AD=CQ•CB，选项④正确，

则正确的选项序号有②③④．

故答案为：②③④