Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =ax+b的图像与反比例函数y =的图像交于A（4，﹣2）、B（﹣2，m）两点，与x轴交于点C.

（1）求a，m的值；

（2）请直接写出不等式ax+b≥的解集；

（3）点P在反比例函数图像上，且点P的横坐标为－4，在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标.

Answer 1

【答案】(1)a=－1，m=4；(2)x≤－2或0<x≤4；(3)Q1(6，0) ，Q2(2，-4)，Q3 (-10，8).

【解析】

（1）先将点A坐标代入反比例函数解析式中求出k，进而求出点B坐标，最后将点A，B坐标代入直线解析式中即可求出a；
（2）利用图象直接得出结论；
（3）先求出点P坐标，设出点Q坐标，利用平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式，建立方程求解即可得出结论．

（1）∵点A（4，﹣2）在反比例函数y＝上，

∴k＝4×（﹣2）＝﹣8，

∴反比例函数解析式为y＝﹣，

∵点B（﹣2，．m）在反比例函数上，

∴﹣2m＝﹣8，

∴m＝4，

∴B（﹣2，4），

将点A（4，﹣2），B（﹣2，4）代入直线y＝ax+b中，得

，

∴，

即：a＝﹣1，m＝4；

（2）∵A（4，﹣2），B（﹣2，4），

∴不等式ax+b≥的解集为x≤﹣2或0＜x≤4；

（3）由（1）知，反比例函数的解析式为y＝﹣，

∵点P在反比例函数图象上，且横坐标为﹣4，

∴点P的纵坐标为2，

∴P（﹣4，2），

设点Q（c，n），以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，

①当AB为对角线时，AB与PQ互相平分，

∴（4﹣2）＝（﹣4+c），（﹣2+4）＝（2+n），

∴c＝6，n＝0，

∴Q（6，0），

②当AP为对角线时，AP与BQ互相平分，

∴（4﹣4）＝（﹣2+n），（﹣2+2）＝（4+n），

∴c＝2，n＝﹣4，

∴Q（2，﹣4），

③当AQ为对角线时，AQ与BP互相平分，

∴（4+c）＝（﹣2﹣4），（﹣2+n）＝（4+2），

∴c＝﹣10，n＝8，

∴Q（﹣10，8），

即：满足条件的点Q的坐标为（6，0）或（2，﹣4）或（﹣10，8）．