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    如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．
    （1）求证：DF=AD；
    （2）过点F作FH⊥AB，垂足为点H，求证：FH+
    1
    2
    AC=AD；
    （3）如图2，将∠ADC绕顶点D旋转一定的角度后，DC边所在的直线与BC边交于点C1（不与点B重合），DA边所在的直线与BA边的延长线交于点A1． A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1H1⊥AB，垂足为H1，试猜想F1H1、
    1
    2
    A1C1与AD三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
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    分析：（1）根据正方形的对角线平分每一组对角∠DAC=∠ABD=45°，再根据角平分线的定义∠CAF=∠BAF，所以∠DAF=∠DFA，根据等角对等边的性质，DF=AD；
    （2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等FH=FO，又OD=
    1
    2
    BD=
    1
    2
    AC，所以FH+
    1
    2
    AC=DF=AD；
    （3）同（1）利用三角形全等证出A1D=DF1，根据等腰直角三角形A1DC1的直角边与斜边的关系，从而得出
    1
    2
    A1C1=
    		2
    2
    DF1，又等腰直角三角形F1H1B中，F1H1=
    		2
    2
    F1B，两式相加即可得到F1H1+
    1
    2
    A1C1=
    		2
    2
    DB，而AD=
    		2
    2
    BD，所以三者存在F1H1+
    1
    2
    A1C1=AD．
    解答：（1）证明：∵正方形ABCD，
    ∴∠DAC=∠ABD=45°，精英家教网
    ∵AF平分∠BAC，
    ∴∠CAF=∠BAF，
    而∠DAF=∠DAC+∠FAC，∠DFA=∠ABD+∠BAF，
    ∴∠DAF=∠DFA，
    ∴DF=AD；

    （2）证明：∵正方形ABCD，
    ∴FO⊥AC，
    1
    2
    AC=OD，
    ∵AF平分∠BAC，FH⊥AB，精英家教网
    ∴FH=FO，
    ∴FH+
    1
    2
    AC=FO+OD=DF=AD，
    即FH+
    1
    2
    AC=AD．

    （3）猜想：F1H1+
    1
    2
    A1C1=AD．
    理由：∵AD=CD，∠ADC=∠A1DC1，
    ∴∠A1DA=∠C1DC，
    ∴△A1AD≌△C1CD，
    ∴△A1C1D是等腰直角三角形，
    ∵A1F1平分∠BA1C1，
    ∴∠BA1F1=∠F1A1C1
    而∠DA1F1=45°+∠F1A1C1，∠DF1A1=45°+∠BA1F1，
    ∴∠DA1F1=∠DF1A1，
    ∴A1D=DF1，
    ∴
    1
    2
    A1C1=
    		2
    2
    A1D=
    		2
    2
    DF1，
    又∵在等腰直角三角形F1H1B中，F1H1=
    		2
    2
    F1B，
    ∴F1H1+
    1
    2
    A1C1=
    		2
    2
    F1B+
    		2
    2
    DF1=
    		2
    2
    DB=AD．
    即F1H1+
    1
    2
    A1C1=AD．
    点评：本题主要利用角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等角对等边的性质，等腰直角三角形斜边等于直角边的
    		2
    倍的性质，综合性较强．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    25、把正方形OFGE纸板按如图①方式放置在正方形纸板ABCD上，顶点G在对角线AC，并把正方形OFGE绕顶点A沿逆时针方向旋转，旋转角为а．
    （1）如图②，当а=90°时，请直接写出线段DE与BF的数量关系和位置关系；
    （2）如图③，当0°＜а＜90°时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明．若发生改变，请举例说明；
    （3）如图④，将图①、图③中的两个正方形都改为矩形，其他条件不变，设AB=kAD（k＞0），当0°＜а＜90°时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明．若发生改变，请写出改变后的新结论，并给出证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）填空：如图1，在正方形PQRS中，已知点M、N分别在边QR、RS上，且QM=RN，连接PN、SM相交于点O，则∠POM=
     
    度；
    （2）如图2，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC=CD，∠ABC=60度．以此为部分条件，精英家教网构造一个与上述命题类似的正确命题并加以证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    26、如图1，在正方形ABCD中，若点E是△DBC内的一点，且DE=DC，BE=CE．
    （1）连接AE．说明△ABE≌△DCE的理由；
    （2）求∠BDE与∠CDE度数的比值；
    （3）拓展探索：若只将题中的条件“正方形ABCD”换成条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，2∠DBC=∠DCB”．如图2，研究∠BDE与∠CDE度数的比值是否与（2）中的结论相同，写出你的研究结果并说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F．
    （1）求证：EF+
    1
    2
    AC=AB；
    （2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，
    1
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    A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
    （3）在（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    课本练习拓展：
    （1）如图1，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，△ABE经过旋转后得到△ADF，
    ①旋转中心是点
    A
    A
    ；旋转角度最少是
    90
    90
    度．
    ②爱动脑筋的小兵，在CD边上取点H使得∠HAE=45°，他发现：HE=BE+HD，他的发现正确吗？请你判断并说明理由．
    （2）思维闯关：
    如图2，在直角梯形ABCD中AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°BC=AB=6，E是 AB上一点，且∠DCE=45°，BE=2，则DE的长=
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    ．（小兵运用解答（1）中所积累的经验和知识做出了该题）
    （3）动手闯过：
    ①小明有一块如图3所示的纸片，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．小明请小兵只剪一刀后把它拼成正方形，请你帮助小兵在图中画出剪拼得示意图．
    ②小兵好朋友小红现有两块同小明一样的纸片，如图4，小兵能否在每块上各剪一刀，然后拼成一个大的正方形？若能，请你画出剪法和拼法的示意图；若不能，简要说明理由．

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