【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(5,0)两点,直线y=﹣x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若PE=5EF,求m的值;
(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点,是否存在点P,使点E′落在y轴上?若存在,请直接写出相应的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+4x+5.(2)m=2或m=.(3)点P坐标为(0,5),(﹣,),(4,5),(3﹣,2﹣3)
【解析】
试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)用含m的代数式分别表示出PE、EF,然后列方程求解;
(3)解题关键是识别出当四边形PECE′是菱形,然后根据PE=CE的条件,列出方程求解;当四边形PECE′是菱形不存在时,P点y轴上,即可得到点P坐标.
试题解析:(1)将点A、B坐标代入抛物线解析式,得:
,解得,
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+4x+5.
(2)∵点P的横坐标为m,
∴P(m,﹣m2+4m+5),E(m,﹣m+3),F(m,0).
∴PE=|yP﹣yE|=|(﹣m2+4m+5)﹣(﹣m+3)|=|﹣m2+m+2|,
EF=|yE﹣yF|=|(﹣m+3)﹣0|=|﹣m+3|.
由题意,PE=5EF,即:|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|-m+15|
① 若﹣m2+m+2=-m+15,整理得:2m2﹣17m+26=0,
解得:m=2或m=;
② 若﹣m2+m+2=﹣(-m+15),整理得:m2﹣m﹣17=0,
解得:m=或m=.
由题意,m的取值范围为:﹣1<m<5,故m=、m=这两个解均舍去.
∴m=2或m=.
(3)假设存在.
作出示意图如下:
∵点E、E′关于直线PC对称,
∴∠1=∠2,CE=CE′,PE=PE′.
∵PE平行于y轴,∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,∴PE=CE,
∴PE=CE=PE′=CE′,即四边形PECE′是菱形.
当四边形PECE′是菱形存在时,
由直线CD解析式y=﹣x+3,可得OD=4,OC=3,由勾股定理得CD=5.
过点E作EM∥x轴,交y轴于点M,易得△CEM∽△CDO,
∴,即,解得CE=|m|,
∴PE=CE=|m|,又由(2)可知:PE=|﹣m2+m+2|
∴|﹣m2+m+2|=|m|.
(1) 若﹣m2+m+2=m,整理得:2m2﹣7m﹣4=0,解得m=4或m=﹣ ;
③ 若﹣m2+m+2=﹣m,整理得:m2﹣6m﹣2=0,解得m1=3+,m2=3﹣.
由题意,m的取值范围为:﹣1<m<5,故m=3+这个解舍去.
当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时,
此时P点横坐标为0,E,C,E'三点重合与y轴上,也符合题意,
∴P(0,5)
综上所述,存在满足条件的点P,可求得点P坐标为(0,5),(﹣,),(4,5),(3﹣,2﹣3)
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【题目】“十九大”最受新闻网站关注.据统计,关键词“十九大”在1.3万个网站中产生数据174 000条.将174 000用科学记数法表示应为( )
A. 17.4×105 B. 1.74×105 C. 17.4×104 D. 0.174×106
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【题目】关于 x 的一元二次方程(m﹣1)x2+3x+m2﹣1=0 的一根为 0,则 m 的值是( )
A. ±1 B. ±2 C. ﹣1 D. ﹣2
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【题目】2018年浙江省生产总值约为56200亿元.数56200用科学记数法表示为( )
A. 56.2×103B. 5.62×104C. 562×102D. 0.562×103
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【题目】解答
(1)在数轴上表示下列各数:1.5,0,﹣3,﹣(﹣ ),﹣|﹣4 |,并用“<”号把它们连接起来.
(2)根据(1)中的数轴,找出大于﹣|﹣4 |的最小整数和小于﹣(﹣ )的最大整数,并求出它们的和.
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【题目】钟楼是云南大学的标志性建筑之一,某校教学兴趣小组要测量钟楼的高度,如图,他们在点A处测得钟楼最高点C的仰角为45°,再往钟楼方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°,AB=7m,根据这个兴趣小组测得的数据,计算钟楼的高度CD.(tan36°≈0.73,结果保留整数).
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【题目】某中学研究性学习小组的同学们在社会实活动中调查了30户家庭某月的用水量,如表所示
用水量(吨) | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 |
户数 | 3 | 6 | 7 | 9 | 5 |
这30户家该月用水量的众数和中位数分别是( )
A. 25,27.5B. 25,25C. 30,27.5D. 30,25
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【题目】甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差s2如下表所示:
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
平均数(cm) | 561 | 560 | 561 | 560 |
方差s2 | 3.5 | 3.5 | 15.5 | 16.5 |
根据表中数据,要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
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