Question

3．如图，正方形ABCD中，P、Q分别是边AB、BC上的两个动点，P、Q同时分别从A、B出发，点P沿AB向B运动；点Q沿BC向C运动，速度都是1个单位长度/秒．运动时间为t秒．
（1）连结AQ、DP相交于点F，求证：AQ⊥DP；
（2）当正方形边长为4，而t=3时，求tan∠QDF的值．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=∠B=90°，推出△ADP≌△ABQ，由全等三角形的性质得到∠BAQ=∠ADP，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到PD=AQ=5，推出△APF∽△ADP，根据相似三角形的性质得到$\frac{AP}{PD}=\frac{PF}{AP}$，求得PF=$\frac{9}{5}$，得到DF=$\frac{16}{5}$，同理得到AF=$\frac{12}{5}$，求得FQ=$\frac{13}{5}$，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）在正方形ABCD中，
∵AB=AD，∠BAD=∠B=90°，
由题意得：AP=BQ，
在△ADP与△ABQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAB=∠B}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△ABQ，
∴∠BAQ=∠ADP，
∵∠PAF+∠DAF=90°，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠AFD=90°，
∴AQ⊥DP；

（2）∵正方形边长为4，而t=3时，
∴AD=AB=4，AP=BQ=3，
∴PD=AQ=5，
∵∠PAF=∠ADP，∠AFP=∠PAD=90°，
∴△APF∽△ADP，
∴$\frac{AP}{PD}=\frac{PF}{AP}$，
∴PF=$\frac{9}{5}$，
∴DF=$\frac{16}{5}$，
∵∠AFP=∠AFD=90°，
∴△APF∽△ADF，
∴$\frac{AF}{PF}=\frac{DF}{AF}$，
∴AF=$\frac{12}{5}$，
∴FQ=$\frac{13}{5}$，
∴tan∠QDF=$\frac{FQ}{DF}$=$\frac{13}{16}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．