Question

如图，△ABE中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE于C，过C作CD⊥AE于D，DC的延长线与AB的延长线交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AE=5，BE=6，求DC的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OC，求证∠OCB+∠BCP=∠ECD+∠E=90°
（2）连接AC，根据直角三角形的面积公式S_△ACE=AC•CE=AE•CD求解．
解答：证明：（1）连接OC；
∵PD⊥AE于D，
∴∠DCE+∠E=90°；
∵AB=AE，OB=OC，
∴∠CBA=∠E=∠BCO；
又∵∠DCE=∠PCB，
∴∠BCO+∠PCB=90°；
∴PD是⊙O的切线．

（2）解：连接AC；
∵AB=AE=5，AB是⊙O的直径，BE=6，
∴AC⊥BE且EC=BC=3；
∴由勾股定理知，AC=4；
∵CD⊥AE，
∴S_△ACE=AC•CE=AE•CD，
∴DC==．
点评：本题利用了等腰直角三角形的性质，直径对的圆周角是直角，勾股定理，切线的判定与性质，直角三角形的面积公式求解等知识．解题时要注意连接过切点的半径与构造直径所对的圆周角是圆中的常见辅助线．