Question

12．如图1，点M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN
（1）求证：AM=BN；
（2）分别写出点M在如图2和图3所示位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系（不需证明）；
（3）如图4，当BM=AB时，证明：MN⊥AB．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质就可以得出∠BPA=∠MPN=60°，AB=BP=AP，PM=PN=MN，进而就可以得出△APM≌△PBN，得出结论；
（2）由（1）中的方法证得△APM≌△PBN，得出图2中，BN=AB+BM；得出图3中，BN=BM-AB；
（3）由等边三角形的性质得出∠ABP=∠PMN=60°，就可以得出∠PBM=120°，求得∠BMP=30°，进而就可以得出∠BMN=90°，得出结论．

解答 （1）证明：∵△PAB和△PMN是等边三角形，
∴∠BPA=∠MPN=60°，AB=BP=AP，PM=PN=MN，
∴∠BPA-∠MPB=∠MPN-∠MPB，
∴∠APM=∠BPN．
在△APM≌△PBN中
$\left\{\begin{array}{l}{AP=PB}\\{∠APM=∠BPN}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴△APM≌△PBN（SAS），
∴AM=BN．
（2）解：图2中BN=AB+BM；
图3中BN=BM-AB．
（3）证明：∵△PAB和△PMN是等边三角形，
∴∠ABP=∠PMN=60°，AB=PB，
∴∠PBM=120°，
∵BM=AB=PB，
∴∠BMP=30°，
∴∠BMN=∠PMN+∠BMP=90°，
∴MN⊥AB．

点评 本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．