Question

7．已知：如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴负半轴相交于点A，与y正半轴相交于点B，与反比例函数y=$\frac{m}{x}$图象的一个交点为C（2，4），且 AB=BC．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若以A、C、O、P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标为（4，4）、（0，4）、（-4，-4）．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法直接求出反比例函数，再判断出△AOB≌△CDB进而得出OA=CD=2，OB=OD，即可得出OB=2，即可得出A（-2，0），B（0，2），最后△用待定系数法即可得出结论；
（2）利用平行四边形的性质分OA为边和为对角线建立方程求解即可．

解答 解：（1）将点C（2，4）代入y=$\frac{m}{x}$中，得，m=2×4=8，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{8}{x}$；
如图1，
过点C作CD⊥y轴，
∴CD=2，OD=4，
在△AOB和△CDB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠CDB=90°}\\{∠ABO=∠CBD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△CDB，
∴OA=CD=2，OB=BD．
∵OB+BD=4，
∴OB=BD=2，
∴A（-2，0），B（0，2），
∴b=2，
∴-2k+2=0，
∴k=1，
∴一次函数的表达式为y=x+2；

（2）设P（m，n）
∵以点A，C，O，P为顶点的四边形是平行四边形，
①当OA为边时，PC∥x轴，PC=OA=2，
∵C（2，4），
∴|m-2|=2，
∴m=0或m-4，
∴P（4，4）或P（0，4），

②当OA为对角线时，OA的中点和PC的中点重合，
∴m+2=2×（-1），n+4=2×0，
∴m=-4，n=-4，
∴P（-4，-4），
∴以A、C、O、P为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标为（4，4）、（0，4）、（-4，-4）．
故答案为：（4，4）、（0，4）、（-4，-4）．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，平行四边形的平行，解（1）的关键是判断出△AOB≌△CDB，解（2）的关键是分OA为边和对角线建立方程求解，是一道基础题目．