Question

（1）试用一元二次方程的求根公式，探索方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根互为相反数的条件是______．
（2）已知x、y为实数，，则=______．
（3）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90度，BC=16，AD=21，DC=12，动点P从点D出发，沿线段DA方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒．
①设△BPQ的面积为S，求S和t之间的函数关系式；
②当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三等形？（分类讨论）

Answer 1

解：（1）依题意可知：
x₁+x₂==0，
∵a≠0
∴b=0．
并且判别式△=b2-4ac≥0，则a，c异号．
故方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根互为相反数的条件是：b=0，且a，c异号．
（2），
即=0，
∴3x-2=0，y-2=0，
∴x=，y=2，
∴=．

（3）①作PM⊥BC，垂足为M．
则四边形PDCM为矩形．
∴PM=DC=12
∵QB=16-t，
∴S=．

②可知CM=PD=2t，CQ=t，
若以B、P、Q三顶为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
第一种：PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ²=PM²+QM²=12²+t²，解t=．
第二种：BP=BQ，在Rt△PMB中，BP²=（16-2t）²+12²，3t²-32t+144=0无实根，
∴PB≠BQ．
第三种：若PB=PQ，由PB²=PQ²得t²+12²=（16-2t）²+12²，解得t₁=，t₂=16（舍去）
综上可知：t=或t=，B、P、Q三点为顶点三角形是等腰三角形．
分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于=0，可求出b=0；
（2）先将原式变形为=0，再根据二次根式与平方都是非负数，即可求得x=，y=2，即可求得=．
（3）①作PM⊥BC，则PM=DC，根据三角形的面积公式S=BM•PM即可求解．
②若以B、P、Q三顶为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：第一种：PQ=BQ；第二种：BP=BQ；第三种：若PB=PQ．根据勾股定理可求得t=或t=，B、P、Q三点为顶点三角形是等腰三角形．
点评：本题重点考查了根与系数的关系；根式和完全平方式的意义；三角形面积公式及勾股定理的应用．