Question

5．如图，抛物线y=$\frac{1}{3}$x²+bx+6与y轴相交于点A，与过点A且平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限），抛物线的顶点C在直线OB上，平移直线OB，使平移后的直线OB与抛物线只有一个交点，则直线OB向右平移了$\frac{3}{4}$个单位．

Answer 1

分析 由条件可△AOB的中位线在对称轴上，可求得CD的长，可求得C点纵坐标，再根据顶点的坐标公式可求得b的值，可求得抛物线的解析式，则容易求得C点坐标，可求得直线OB的解析式，

解答 解：设对称轴于AB交于点E，如图，

∵A、B关于直线CD对称，
∴E为AB中点，
∵CD∥AO，
∴C为OB中点，
∴EC为△AOB的中位线，
∵抛物线解析式为y=$\frac{1}{3}$x²+bx+6，
∴当x=0时，y=6，
∴A点坐标为（0，6），
∴OA=DE=6，
∴EC=$\frac{1}{2}$OA=3，
∴CD=3，
∵C为抛物线的顶点，
∴抛物线的最小值为3，
∴$\frac{4×\frac{1}{3}×6-{b}^{2}}{4×\frac{1}{3}}$=3，解得b=2或-2，
∵抛物线对称轴在y轴的右侧，开口向上，
∴b＜0，
∴b=-2，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{3}$x²-2x+6，
∴抛物线对称轴为x=3，即C点坐标为（3，3），
设直线OB解析式为y=kx，把C点坐标代入可得3=3k，解得k=1，
∴直线OB解析式为y=x，
则可设平移后的直线方程为y=x+m，
联立抛物线和平移后的直线方程可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-2x+6}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，消去y整理可得$\frac{1}{3}$x²-3x+6-m=0，
∵平移后的抛物线与直线只有一个交点，
∴△=0，即（-3）²-4×$\frac{1}{3}$（6-m）=0，解得m=-$\frac{3}{4}$，
∴平移后的直线解析式为y=x-$\frac{3}{4}$，
令y=0，可得x=$\frac{3}{4}$，
∴相当于直线OB向右平移了$\frac{3}{4}$个单位，
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查二次函数和一次函数的交点问题，由条件确定出顶点纵坐标，求得直线OB和抛物线的解析式是解题的关键．