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1.如图,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,E是AB上的一点,以BE为直径的⊙O过点D.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)求证:BD2=BC•BE;
(3)若AE=6,AD=6$\sqrt{2}$,求BC的长.

分析 (1)连接OD.欲证AC是⊙O的切线,只需证明AC⊥OD即可;
(2)由圆周角定理得出∠BDE=90°,得出∠BDE=∠C=90°,根据弦切角定理得出∠DBE=∠CBD,从而证得△DBE∽△CBD,根据相似三角形对应边成比例即可求得结论;
(3)设⊙O的半径为r,根据勾股定理求得半径,进而求得OD=3,OA=9,AB═12,然后根据△AOD∽△ABC,对应边成比例即可求出BC的长,由此得解.

解答 (1)证明:连接OD,
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠OBD,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD,
∴∠ODB=∠CBD,
∴OD∥BC,
∴∠ADO=∠ACB,
∴AC是⊙O的切线;

(2)证明:连接DE,
∵BE为圆O的直径,
∴∠BDE=90°,
∵∠BDE=∠C=90°,∠DBE=∠CBD,
∴△DBE∽△CBD,
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BE}{BD}$,
∴BD2=BC•BE;

(3)解:设⊙O的半径为r,
在RT△AOD中,AD2+OD2=AO2,即(6$\sqrt{2}$)2+r2=(6+r)2
解得r=3,
∴OD=3,OA=6+r=9,AB=6+2r=12,
∵OD∥BC,
∴△AOD∽△ABC,
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{OD}{BC}$,即$\frac{9}{12}$=$\frac{3}{BC}$,
解得BC=4.

点评 本题考查了切线的判定定理(经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线)和切割线定理的运用,以及三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用等具有一定的综合性.

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