Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FD²=FB×FC．

Answer 1

分析：根据线段垂直平分线的性质，得到FD=FA，∠FAD=∠FDA，再根据三角形外角的性质，得到两个三角形的一对对应角相等，另一对角是这两个三角形的公共角，可以证明两个三角形相似，然后用相似三角形的性质对应线段的比相等进行证明．

解答：解：如图：
连接AF，∵EF垂直平分AD，
∴FA=FD．∠FAD=∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
在△FAC和△FBA中，
∠AFC=∠BFA，
∠ACF=∠B+2∠BAD=∠FDA+∠BAD=∠FAD+∠BAD=∠BAF．
∴△ACF∽△BAF，
∴

CF

AF

=

AF

BF

．
∴AF²=BF•FC．
又∵FA=FD
∴FD²=FB•FC．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，先根据题意判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质定理对应边的比相等证明等式成立．