Question

7．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A（3，0）、B（0，3）．
（1）求一次函数的解析式：
（2）若点P在该函数图象上，P到x轴、y轴的距离分别为d₁，d₂，求d₁-d₂的取值范围；
（3）在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴上的顶点坐标．

Answer 1

分析 （1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）设点P的坐标为（m，-m+3），表示出d₁、d₂，两者做差，根据m的取值范围不同，找出d₁-d₂的值，由此即可得出结论；
（3）分两种情况：①点O为正方形的一个顶点，根据正方形以及等腰直角三角形的性质即可算出点D的坐标；②正方形的两个顶点落在线段AB上，利用等腰直角三角形以及正方形的性质求出AM的长，再根据勾股定理求出AF的长，从而得出点F的坐标．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
将点A（3，0）、B（0，3）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+3．
（2）设点P的坐标为（m，-m+3），
∴d₁=|m|，d₂=|-m+3|，
∴d₁-d₂=|m|-|-m+3|．
当m＜0时，-m+3＞0，
d₁-d₂=|m|-|-m+3|=-m-（-m+3）=3；
当0≤m≤3时，-m+3≥0，
d₁-d₂=|m|-|-m+3|=m-（-m+3）=2m-3，
∵0≤m≤3，
∴-3≤d₁-d₂≤3；
当3＜m时，-m+3＜0，
d₁-d₂=|m|-|-m+3|=m-（m-3）=3．
综上可知：当点P在该函数图象上时，P到x轴、y轴的距离分别为d₁，d₂，则d₁-d₂的取值范围为-3≤d₁-d₂≤3．
（3）分两种情况：
①如图1，当点O为正方形的一个顶点时，
∵OA=OB，
∴∠BAO=45°，
∵CD⊥OA，
∴CD=AD．
∵四边形ODCE是正方形，
∴OD=CD，
∴OD=AD，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3}{2}$，
∴落在x轴上的顶点（0，0），（$\frac{3}{2}$，0）；
②如图2，当正方形的两个顶点落在线段AB上时，
∵∠BAO=∠ABO=45°，
∴△AFE和△BGN均为等腰直角三角形，
∴BN=GN，AM=FM，
∵四边形FMNG为正方形，
∴AM=MN=BN，
∴AM=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{1}{3}$$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{2}$，AF=$\sqrt{2+2}$=2．
∵OA=3，
∴OF=3-2=1，
∴落在x轴上的顶点F（1，0）．
综上可知：正方形落在x轴上的顶点坐标为（0，0）、（$\frac{3}{2}$，0）和（1，0）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）分m的范围不同求d₁-d₂的取值范围；（3）分情况讨论．本题属于中档题，难度不大，本题的（3）为该题的难点，在解决该问时要注意，正方形有两种情况，很多同学往往会落掉第二种情况，应加强该方面知识的练习．