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18.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点,点P为线段BC上的点.请你写出所有符合以OD为腰的等腰三角形ODP的顶点P的坐标(2,4)或(8,4)或(3,4).

分析 根据点A、C的坐标求出OA、OC,再根据线段中点的定义求出OD=5,过点P作PE⊥x轴于E,根据已知点P(3,4)判断出OP=OD,再根据PD=OD利用勾股定理列式求出DE的长,然后分点E在点D的左边与右边两种情况求出OE,然后写出点P的坐标即可.

解答 解:∵A(10,0),C(0,4),
∴OA=10,OC=4,
∵点D是OA的中点,
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$×10=5,
过点P作PE⊥x轴于E,
则PE=OC=4,
∵P(3,4),
∴OP=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5,
∴此时,OP=OD,
当PD=OD时,由勾股定理得,DE=$\sqrt{P{D}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3,
若点E在点D的左边,OE=5-3=2,
此时,点P的坐标为(2,4),
若点E在点D的右边,则OE=5+3=8,
此时,点P的坐标为(8,4),
当PO=OD时,OE=$\sqrt{O{P}^{2}-P{E}^{2}}$=3,
∴此时,点P的坐标为(3,4),
综上所述,其余的点P的坐标为(2,4)或(8,4)或(3,4).
故答案为:(2,4)或(8,4)或(3,4).

点评 本题考查了矩形的性质,坐标与图形性质,等腰三角形的性质,勾股定理,难点在于要分两种情况写出点P的坐标.

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D30~3460.03
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