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【题目】如图所示,点A为半圆O直径MN所在直线上一点,射线AB垂直于MN,垂足为A,半圆绕M点顺时针转动,转过的角度记作a;设半圆O的半径为R,AM的长度为m,回答下列问题:

探究:(1)若R=2,m=1,如图1,当旋转30°时,圆心O′到射线AB的距离是   ;如图2,当a=   °时,半圆O与射线AB相切;

(2)如图3,在(1)的条件下,为了使得半圆O转动30°即能与射线AB相切,在保持线段AM长度不变的条件下,调整半径R的大小,请你求出满足要求的R,并说明理由.

(3)发现:(3)如图4,在0°<α<90°时,为了对任意旋转角都保证半圆O与射线AB能够相切,小明探究了cosα与R、m两个量的关系,请你帮助他直接写出这个关系;

cosα=   (用含有R、m的代数式表示)

拓展:(4)如图5,若R=m,当半圆弧线与射线AB有两个交点时,α的取值范围是   ,并求出在这个变化过程中阴影部分(弓形)面积的最大值(用m表示)

【答案】(1) +1;60°;(2)4+2;(3) ;(4) m2

【解析】试题分析:(1)如图1中,作O′EABE,MFOEF.则四边形AMFE是矩形,EF=AM=1.如图2中,设切点为F,连接O′F,作O′EOAE,则四边形O′EAF是矩形,在RtOEM中,由sinα=,推出α=60°.
(2)设切点为P,连接O′P,作MQOP,则四边形APQM是矩形.列出方程即可解决问题.
(3)设切点为P,连接O′P,作MQOP,则四边形APQM是矩形.列出方程即可解决问题、
(4)当半圆与射线AB相切时,之后开始出现两个交点,此时α=90°;当N′落在AB上时,为半圆与AB有两个交点的最后时刻,此时∵MN=2AM,所以∠AMN=60°,所以,α=120°因此,当半圆弧线与射线AB有两个交点时,α的取值范围是:90°<α≤120°.当N′落在AB上时,阴影部分面积最大,求出此时的面积即可.

试题解析:(1)如图1中,作O′E⊥AB于E,MF⊥O′E于F.则四边形AMFE是矩形,EF=AM=1.想办法求出O′E的长即可.

在Rt△MFO′中,∵∠MOF=30°,MO′=2,

∴O′F=O′Mcos30°=,O′E=+1,

∴点O′到AB的距离为+1.

如图2中,设切点为F,连接O′F,作O′E⊥OA于E,则四边形O′EAF是矩形,

∴AE=O′F=2,

∵AM=1,

∴EM=1,

在Rt△O′EM中,sinα=

∴α=60°

故答案为 +1,60°.

(2)设切点为P,连接O′P,作MQ⊥O′P,则四边形APQM是矩形.

∵O′P=R,

∴R= R+1,

∴R=4+2

(3)设切点为P,连接O′P,作MQ⊥O′P,则四边形APQM是矩形.

在Rt△O′QM中,O′Q=Rcosα,QP=m,

∵O′P=R,

∴Rcosα+m=R,

∴cosα=

故答案为

(4)如图5中,

当半圆与射线AB相切时,之后开始出现两个交点,此时α=90°;当N′落在AB上时,为半圆与AB有两个交点的最后时刻,此时∵MN′=2AM,所以∠AMN′=60°,所以,α=120°因此,当半圆弧线与射线AB有两个交点时,α的取值范围是:90°<α≤120°

故答案为90°<α≤120°;

当N′落在AB上时,阴影部分面积最大,

所以S═ m m= m2

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