【题目】如图所示,点A为半圆O直径MN所在直线上一点,射线AB垂直于MN,垂足为A,半圆绕M点顺时针转动,转过的角度记作a;设半圆O的半径为R,AM的长度为m,回答下列问题:
探究:(1)若R=2,m=1,如图1,当旋转30°时,圆心O′到射线AB的距离是 ;如图2,当a= °时,半圆O与射线AB相切;
(2)如图3,在(1)的条件下,为了使得半圆O转动30°即能与射线AB相切,在保持线段AM长度不变的条件下,调整半径R的大小,请你求出满足要求的R,并说明理由.
(3)发现:(3)如图4,在0°<α<90°时,为了对任意旋转角都保证半圆O与射线AB能够相切,小明探究了cosα与R、m两个量的关系,请你帮助他直接写出这个关系;
cosα= (用含有R、m的代数式表示)
拓展:(4)如图5,若R=m,当半圆弧线与射线AB有两个交点时,α的取值范围是 ,并求出在这个变化过程中阴影部分(弓形)面积的最大值(用m表示)
【答案】(1) +1;60°;(2)4+2;(3) ;(4) m2.
【解析】试题分析:(1)如图1中,作O′E⊥AB于E,MF⊥O′E于F.则四边形AMFE是矩形,EF=AM=1.如图2中,设切点为F,连接O′F,作O′E⊥OA于E,则四边形O′EAF是矩形,在Rt△O′EM中,由sinα=,推出α=60°.
(2)设切点为P,连接O′P,作MQ⊥O′P,则四边形APQM是矩形.列出方程即可解决问题.
(3)设切点为P,连接O′P,作MQ⊥O′P,则四边形APQM是矩形.列出方程即可解决问题、
(4)当半圆与射线AB相切时,之后开始出现两个交点,此时α=90°;当N′落在AB上时,为半圆与AB有两个交点的最后时刻,此时∵MN′=2AM,所以∠AMN′=60°,所以,α=120°因此,当半圆弧线与射线AB有两个交点时,α的取值范围是:90°<α≤120°.当N′落在AB上时,阴影部分面积最大,求出此时的面积即可.
试题解析:(1)如图1中,作O′E⊥AB于E,MF⊥O′E于F.则四边形AMFE是矩形,EF=AM=1.想办法求出O′E的长即可.
在Rt△MFO′中,∵∠MOF=30°,MO′=2,
∴O′F=O′Mcos30°=,O′E=+1,
∴点O′到AB的距离为+1.
如图2中,设切点为F,连接O′F,作O′E⊥OA于E,则四边形O′EAF是矩形,
∴AE=O′F=2,
∵AM=1,
∴EM=1,
在Rt△O′EM中,sinα= ,
∴α=60°
故答案为 +1,60°.
(2)设切点为P,连接O′P,作MQ⊥O′P,则四边形APQM是矩形.
∵O′P=R,
∴R= R+1,
∴R=4+2.
(3)设切点为P,连接O′P,作MQ⊥O′P,则四边形APQM是矩形.
在Rt△O′QM中,O′Q=Rcosα,QP=m,
∵O′P=R,
∴Rcosα+m=R,
∴cosα=.
故答案为.
(4)如图5中,
当半圆与射线AB相切时,之后开始出现两个交点,此时α=90°;当N′落在AB上时,为半圆与AB有两个交点的最后时刻,此时∵MN′=2AM,所以∠AMN′=60°,所以,α=120°因此,当半圆弧线与射线AB有两个交点时,α的取值范围是:90°<α≤120°
故答案为90°<α≤120°;
当N′落在AB上时,阴影部分面积最大,
所以S═ ﹣ m m= m2.
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【题目】某小区有两段长度相等的道路需硬化,现分别由甲、乙两个工程队同时开始施工.如图的线段和折线是两队前6天硬化的道路长y甲、y乙(米)与施工时间x(天)之间的函数图象
根据图象解答下列问题:
(1)直接写出y甲、y乙(米)与x(天)之间的函数关系式.
①当0<x≤6时,y甲=;
②当0<x≤2时,y乙=;当2<x≤6时,y乙=;
(2)求图中点M的坐标,并说明M的横、纵坐标表示的实际意义;
(3)施工过程中,甲队的施工速度始终不变,而乙队在施工6天后,每天的施工速度提高到120米/天,预计两队将同时完成任务.两队还需要多少天完成任务?
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【题目】如图,已知抛物线的顶点为A(0,1),矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,点D、E在x轴上,CF交y轴于点B(0,2),且矩形其面积为8,此抛物线的解析式.
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【题目】在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点。
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系并说明理由;
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论。
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【题目】若点P(x,y)在第三象限,且点P到x轴的距离为3,到y轴的距离为2,则点P的坐标是( )
A.(﹣2,﹣3)
B.(﹣2,3)
C.(2,﹣3)
D.(2,3)
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【题目】中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨.将数67500用科学记数法表示为( )
A.0.675×105
B.6.75×104
C.67.5×103
D.675×102
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