Question

4．已知$\sqrt{2\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$、$\sqrt{3\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$、$\sqrt{4\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$
（1）类比上述式子，写出第4个式子$\sqrt{5\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$．
（2）猜想第n个式子，并用字母表示出来．
（3）证明（2）问中式子的正确性．

Answer 1

分析 （1）根据所给式子的规律，即可解答；
（2）根据所给式子的规律，即可解答；
（3）利用算术平方根，即可证明．

解答 解：（1）$\sqrt{5\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$
故答案为：$\sqrt{5\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$．
（2）$\sqrt{n+\frac{n}{{{n^2}-1}}}=n\sqrt{\frac{n}{{{n^2}-1}}}$（n≥2且为整数）
（3）$\sqrt{n+\frac{n}{{n}^{2}-1}}$
=$\sqrt{\frac{n（{n}^{2}-1）+n}{{n}^{2}-1}}$
=$\sqrt{\frac{n（{n}^{2}-1+1）}{{n}^{2}-1}}$
=$\sqrt{\frac{{n}^{2}•n}{{n}^{2}-1}}$
=n$\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}-1}}$．

点评 本题考查了算术平方根，解决本题的关键是估计所给式子，发现规律．