Question

【题目】已知y是x的二次函数，该函数的图象经过点A(0，5)、B(1，2)、C(3，2)．

（1）求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标；

（2）结合图象，回答下列问题：

①当1≤x≤4时，y的取值范围是　 　；

②当m≤x≤m+3时，求y的最大值（用含m的代数式表示）；

③是否存在实数m、n（m≠n），使得当m≤x≤n时，m≤y≤n？若存在，请求出m、n；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+5，见解析；（2）①1≤y≤5，②当x＝m+3时，y有最大值为y＝m2﹣+2m+2；当x＝m时，y有最大值为y＝m2﹣4m+5，③存在，m＝，n＝

【解析】

（1）用待定系数法求出解析式，用描点法画出函数图象；

（2）①根据函数图象找出横坐标由1到4的点的纵坐标的最大值与最小值，便可写出y的取值范围；

②先求出对称轴x＝﹣，分两种情况：﹣﹣m≥m+3﹣（﹣）或﹣﹣m＜m+3﹣（﹣），根据二次函数的性质求y的最大值便可；

③利用已知可得图象过（a，a）点，进而得出a的值，即可得出m，n的值．

（1）设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），则

，

解得，，

∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+5，

列表如下：

x	…	0	1	2	3	4	…
y	…	5	2	1	2	5	…

描点、连线，

（2）①由函数图象可知，

当，当

∴当1≤x≤4时，1≤y≤5，

故答案为：1≤y≤5；

②∵二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+5，

∴对称轴为x＝2，

当2﹣m≤m+3﹣2，即m≥时，则在m≤x≤m+3内，当x＝m+3时，y有最大值为y＝x2﹣4x+5＝（m+3）2﹣4（m+3）+5＝m2﹣+2m+2；

当2﹣m＞m+3﹣2，即m＜时，则在m≤x≤m+3内，当x＝m时，y有最大值为y＝x2﹣4x+5＝m2﹣4m+5；

③由已知可得图象过（a，a）点，

∴a＝a2﹣4a+5，

解得，a＝，

∵当m≤x≤n时，m≤y≤n，

∴可以取m＝，n＝．