Question

如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；沿CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图 ⑥）．
（1）求图 ②中∠BCB′的大小；
（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由折叠的性质知：B′C=BC，然后在Rt△B′FC中，含30°角的直角三角形的性质，即可求得∠BCB′的度数；
（2）首先根据题意得：GC平分∠BCB′，即可求得∠GCC′的度数，然后由折叠的性质知：GH是线段CC′的对称轴，可得GC′=GC，即可得△GCC′是正三角形．

解答：解：（1）由折叠的性质知：B′C=BC，
在Rt△B′FC中，
∵FC是斜边B′C的一半，
∴∠FB′C=30°，
∴∠BCB′=60°
即∠BCB′=60°；

（2）图⑥中的△CGC'是正三角形
理由如下：
∵GC平分∠BCB′，
∴∠GCB=

1

2

∠GCC′=

1

2

∠BCB′=30°，
∴∠GCC′=∠BCD-∠BCG=60°，
由折叠的性质知：GH是线段CC′的对称轴，
∴GC′=GC，
∴△GCC′是正三角形．

点评：此题考查了折叠的性质与正三角形的判定，以及三角函数的性质．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用．