Question

(2005　黄冈)如图所示，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA=EC．

　

(1)求证：；(2)延长EC到点P，连接PB，若PB=PE，试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解 (1)如图 连接BC． ∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径， ∴BC=AC． ∴∠1=∠2． 又∵AE=CE，∴∠1=∠3． ∴△AEC∽△ACB． ∴．即． (2)PB与⊙O相切． 连接OB．∵PB=PE． ∴∠PBE=∠PEB， ∴∠1=∠2=∠3， ∴∠PEB=∠1＋∠3=2∠1， 而∠PBE=∠2＋∠PBC．∴∠PBC=∠1， 在△OBC中，OB=OC．∴∠OBC=∠OCB． 在Rt△BCF中，∠OCB=90°－∠2=90°－∠1， ∴∠OBC=90°－∠1， ∴∠OBP=∠OBC＋∠PBC=∠1＋(90°－∠1)=90°． ∴PB⊥OB，即PB为⊙O的切线．

提示：

点评　本题综合考查了圆的有关知识，三角形等，运用了角的等量代换．