Question

【题目】如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：

sin2A1+sin2B1= ；sin2A2+sin2B2= ；sin2A3+sin2B3= ．

（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B= ．

（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由前面的结论，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1；

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=，sinB=，则sin2A+sin2B=，再根据勾股定理得到a2+b2=c2，从而证明sin2A+sin2B=1；

试题解析：（1）由图可知：sin2A1+sin2B1=（）2+（）2=1；

sin2A2+sin2B2=（）2+（）2=1；

sin2A3+sin2B3=（）2+（）2=1．

观察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1．

（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．

∵sinA=，sinB=，

∴sin2A+sin2B=，

∵∠C=90°，

∴a2+b2=c2，

∴sin2A+sin2B=1．