Question

20．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若DE=1，则矩形ABCD的面积为3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据旋转的性质得到AC=AC′，由AC的中点恰好与D点重合，得到AD=$\frac{1}{2}$AC，根据三角函数的定义得到∠DAE=∠ACD=30°，求得AD=$\sqrt{3}$，AE=2，AE=CE=2，根据矩形的面积公式即可得到结论．

解答 解：∵将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，
∴AC=AC′，
∵AC的中点恰好与D点重合，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠DAE=∠ACD=30°，
∵DE=1，
∴AD=$\sqrt{3}$，AE=2，
∵∠DAC=90°-30°=60°，
∴∠EAC=30°，
∴∠EAC=∠ACD=30°，
∴AE=CE=2，
∴CD=3，
∴矩形ABCD的面积=CD•AD=3$\sqrt{3}$．
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质、矩形的性质、特殊角的三角函数，三角形面积计算等知识点，难度不大．清楚旋转的“不变”特性是解答的关键．