Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D．
（1）请写出五个不同类型的正确结论；
（2）若BC=8，ED=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）AB是⊙O的直径，则AB所对的圆周角是直角，BC是弦，OD⊥BC于E，则满足垂径定理的结论；
（2）OD⊥BC，则BE=CE=BC=4，在Rt△OEB中，由勾股定理就可以得到关于半径的方程，可以求出半径．
解答：解：（1）不同类型的正确结论有：
①BE=CE；
②弧BD=弧DC；
③∠BED=90°；
④∠BOD=∠A；
⑤AC∥OD；
⑥AC⊥BC；
⑦OE²+BE²=OB²；
⑧S_△ABC=BC•OE；
⑨△BOD是等腰三角形；
⑩△BOE∽△BAC…
说明：1、每写对一条给1分，但最多给5分；
2、结论与辅助线有关且正确的，也相应给分．

（2）∵OD⊥BC，
∴BE=CE=BC=4，
设⊙O的半径为R，则OE=OD-DE=R-2，（7分）
在Rt△OEB中，由勾股定理得：
OE²+BE²=OB²，即（R-2）²+4²=R²，
解得R=5，
∴⊙O的半径为5．                      （10分）
点评：本题主要考查了垂径定理，求圆的弦，半径，弦心距的长问题可以转化为解直角三角形的问题．