Question

20．过点A（1，2）的直线与双曲线y=$\frac{2}{x}$在第一象限内交于点P，直线AO交双曲线的另一分支于点B，且点C（2，1）．
（1）如图，当点P与C重合时，PA、PB分别交y轴于点E、F．求证：CE=CF；
（2）当点P异于A、C时，探究∠PAC与∠PBC的数量关系，请直接写出结论不必证明．

Answer 1

分析 （1）由点A（1，2），点C（2，1），直接利用待定系数法，即可求得直线AC的解析式，继而求得点E的坐标，然后由过点A（1，2）的直线与双曲线y=$\frac{2}{x}$在第一象限内交于点P，求得直线BC的解析式，继而求得答案；
（2）首先设P（m，$\frac{2}{m}$），且m≠1，2，即可求得直线AP与直线BP的解析式，然后进行角关系的转化即可得出结论．

解答 （1）证明：设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵点A（1，2），点C（2，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=-x+3，
∴点E的坐标为：（0，3）；
直线BC的解析式为：y=mx+n，
∵过点A（1，2）的直线与双曲线y=$\frac{2}{x}$在第一象限内交于点P，
∴点B的坐标为：（-1，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=1}\\{-k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=x-1，
∴点F的坐标为：（0，-1）；
∴CE=$\sqrt{{2}^{2}+（3-1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，CF=$\sqrt{{2}^{2}+[1-（-1）]^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴CE=CF；

（2）解：∵P在双曲线上，且不同于A，C两点，
设P（m，$\frac{2}{m}$），且m≠1，2，
∴直线AP可表示为：y=-$\frac{2x}{m}$+$\frac{2}{m}$+2，
直线BP可表示为：y=$\frac{2x}{m}$+$\frac{2}{m}$-2，
①当P点在A点上方时，
连结AP并延长交y轴于M点，连结PB交y轴于N点，
根据直线AP和直线BP的方程可知，M（0，$\frac{2}{m}$+2），N（0，$\frac{2}{m}$-2），
则根据勾股定理可得PM=$\sqrt{（\frac{2}{m}+2-\frac{2}{m}）^{2}+{m}^{2}}$=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，
同理可得PN=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，
∴PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM，
∵∠MAE+∠PMN=∠CEF，∠PBC+∠BNF=∠CFE，
∠MAE=∠PBC，∠CEF=∠CFE，
∴∠PAE=∠PBC，
∵∠PAE+∠PAC=180°，
∴∠PAC+∠PBC=180°．
②当P点在A点下方时，
连结PA并延长交y轴于M点，连结PB交y轴于N点，
同上述方法可得PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM，
∵∠MAE+∠CEF=∠PMN，∠PBC+∠BFN=∠PNM，
∠MAE=∠PAC，∠BFN=∠CFE，
∴∠PAC=∠PBC．

点评 此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求函数解析式的知识以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．