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如图,在直角梯形ABCD中.AB∥CD,AB=12cm,CD=6cm,DA=3cm,∠D=∠A=90°,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动,如果P、Q同时出发,用t表示移动的时间(单位:秒),并且0≤t≤3.
(1)证明不论t取何值,四边形QAPC的面积是一个定值,并且求出这个定值;
(2)请问是否存在这样的t,使得∠PCQ=90°?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(3)请你探究△PBC能否构成直角三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.精英家教网
分析:(1)连接AC,即可求出四边形QAPC的面积,与t无关.
(2)假设能为直角三角形,利用勾股定理分别求出CQ、PC、PQ的长度,然后在Rt△PCQ中再利用勾股定理列式解关于t的一元二次方程,如果所求解满足0≤t≤3t,则能,否则不可以构成直角三角形.
(3)分∠PCB与∠CPB为直角时两种情况分别求出T的值.
解答:解:(1)连接AC,精英家教网
则S四边形QAPC=S△APC+S△ACQ
=
1
2
AP•AD+
1
2
AQ•CD,
=
1
2
[3×2t+6×(3-t)],
=
1
2
×18,
=9,
故不论t取何值,四边形QAPC的面积是一个定值,这个定值为9.

(2)过C作CE⊥AB,垂足为E,设t秒时,∠PCQ=90°,精英家教网
∵CD=6cm,DA=3cm,
∴CQ2=36+t2,CP2=9+(6-2t)2,PQ2=(3-t)2+(2t)2,AE=6,AD=3,
∵∠PCQ=90°,
∴CQ2+CP2=PQ2
即36+t2+9+(6-2t)2=(3-t)2+(2t)2
解得t=4.
∵0≤t≤3,
∴不可构成直角三角形.

(3)能.
①过C作CE⊥AB于E,则AE=CD=6cm,当p运动到E点时,运动的时间为 精英家教网
6
2
=3s,此时Q正好运动到A点.
△PBC中∠CPB=90°.

②当∠PCB=90°时,即P到E点时,
过D作DG∥BC,则四边形DGBC是平行四边形,BG=DC=6cm,
故AG=AB-GB=12-6=6cm,DG=BC=
DA2+AG2
=
32+62
=3
5
cm,
过A作AF∥CE,精英家教网
则AF=CE,CF=AE=2t,DF=DC-2t=6-2t,
AF=CE=
AD2+DF2
=
32+(6-2t)2

在直角三角形BCE中,BE2=CE2+BC2
即(12-2t)2=(6-2t)2+32+(3
5
2
解得:t=
9
4
(符合题意).
故当t=
9
4
s,或t=3s时△PBC能否构成直角三角形.
点评:本题考查直角梯形的性质,直角三角形的性质,勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识,要熟记这些定理.
练习册系列答案
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20、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC,E为BC边上的点.将直角梯形ABCD沿对角线BD折叠,使△ABD与△EBD重合(如图中阴影所示).若∠A=130°,AB=4cm,则梯形ABCD的高CD≈
3.1
cm.(结果精确到0.1cm)

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精英家教网如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=90°,AC⊥BC,AB=10cm,BC=6cm,F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动,E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动,设运动时间为t秒(0<t<5).
(1)求证:△ACD∽△BAC;
(2)求DC的长;
(3)设四边形AFEC的面积为y,求y关于t的函数关系式,并求出y的最小值.

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(1998•大连)如图,在直角梯形ABCD中.AD∥BC,DC⊥BC,且BC=3AD.以梯形的高AE为直径的⊙O交AB于点F,交CD于点G、H.过点F引⊙O的切线交BC于点N.
(1)求证:BN=EN;
(2)求证:4DH•HC=AB•BF;
(3)设∠GEC=α.若tan∠ABC=2,求作以tanα、cotα为根的一元二次方程.

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如图,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠ADC=90°,AB=3a,CD=2a,AD=2,点E、F分别是腰AD、BC上的动点,点G在AB上,且四边形AEFG是矩形.设FG=x,矩形AEFG的面积为y.
(1)求y与x之间的函数关式,并写出自变量x的取值范围;
(2)在腰BC上求一点F,使梯形ABCD的面积是矩形AEFG的面积的2倍,并求出此时BF的长;
(3)当∠ABC=60°时,矩形AEFG能否为正方形?若能,求出其边长;若不能,请说明理由.

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如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,AB=6cm,CD=10cm,AD=5cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以2cm/s的速度向点B移动,点Q以1cm/s的速度向点D移动,当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动.
(1)经过几秒钟,点P、Q之间的距离为5cm?
(2)连接PD,是否存在某一时刻,使得PD恰好平分∠APQ?若存在,求出此时的移动时间;若不存在,请说明理由.

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