如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中点.
(1)求证:⊿MDC是等边三角形;
(2)将⊿MDC绕点M旋转,当MD(即M)与AB交于一点E,MC即M
)同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值.如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出⊿AEF周长的最小值.
(1)证明:过点D作DP⊥BC,于点P,过点A作AQ⊥BC于点Q, ∵∠C=∠B=600 ∴CP=BQ= 又∵ADPQ是矩形,AD=PQ,故BC=2AD, 由已知,点M是BC的中点, BM=CM=AD=AB=CD (2分) 即⊿MDC中,CM=CD,∠C=600,故⊿MDC是等边三角形 (3分) (2)解:⊿AEF的周长存在最小值,理由如下: 连接AM,由(1)平行四边形ABMD是菱形,⊿MAB,⊿MAD和⊿M ∠BMA=∠BME+∠AME=600,∠EMF=∠AMF+∠AME=600 ∴∠BME=∠AMF (5分) 在⊿BME与⊿AMF中,BM=AM,∠EBM=∠FAM=600 ∴⊿BME≌⊿AMF(ASA) (6分) ∴BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB ∵∠EMF=∠DMC=600,故⊿EMF是等边三角形,EF=MF (7分) ∵MF的最小值为点M到AD的距离 ⊿AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF, ⊿AEF的周长的最小值为2+ |
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