Question

13．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠CAB=2，点D为BC中点，连接AD，BE⊥AC于E，交AD于点G．DF⊥AD交AC于F，若DF=5，则DG=$\frac{10}{3}\sqrt{10}$．．

Answer 1

分析 由垂直得BE∥DF，得到对应线段DG、AD间的比例关系，由于∠CAB=∠CDF∠CBE，利用∠CAB的正切是2，DF=5，计算出所需线段CF、CE、CB、AB、AD的长度．利用平行线成比例定理，计算出DG的长度．

解答 解：∵BE⊥AC，DF⊥AD，
∴BE∥DF．
由于点D是BC的中点，
∴点F是CE的中点，
∴DF是△CBE的中位线．
∵DF=5，
∴BE=10．
∵∠CBA=∠CFD=∠AEB=90°，∠C=∠C，
∴∠CAB=∠CDF．
∵tan∠CAB=2，
∴tan∠CDF=$\frac{CF}{DF}$=2，
∵DF=5，
∴CF=EF=10，
在Rt△EAB中，∵tan∠CAB=2，
∴AE=5，
∴AF=15．
在Rt△CEB中，CB=$\sqrt{{10}^{2}+2{0}^{2}}=10\sqrt{5}$，
在Rt△CAB中，∵tan∠CAB=2，∴AB=5$\sqrt{5}$，∴AD=5$\sqrt{10}$．
∵BE∥DF，∴$\frac{DG}{AD}=\frac{EF}{AF}$
∴DG=AD×$\frac{EF}{AF}$=5$\sqrt{10}$×$\frac{10}{15}$=$\frac{10}{3}\sqrt{10}$．

点评 本题考查了平行线的性质、三角形的中位线定理、三角函数知识、勾股定理和相似三角形的判定和性质．综合利用各个知识点是解决本题的关键．