Question

某校教学楼共五层，设有左、右两个楼梯口，通常在放学时，若持续不正常，会导致等待通过的人较多，发生拥堵，从而出现不安全因素．通过观察发现位于教学楼二、三楼的七年级学生从放学时刻起，经过单个楼梯口等待人数按每分钟12人递增，6分钟后经过单个楼梯口等待人数按每分钟8人递减；位于四、五楼的八年级学生从放学时刻起，经过单个楼梯口等待人数按每分钟8人递增，6分钟后经过单个楼梯口等待人数按每分钟16人递减．若在单个楼梯口等待人数超过80人，就可能出现安全问题．
（1）若设在楼梯口等待的人数为y（人），时间为t（分），试分别写出七、八年级学生y和t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．
（2）若七、八年级学生同时放学，试计算等待人数超过80人所持续的时间．
（3）要使单个楼梯口等待人数不超过80人，则八年级学生最好比七年级迟几分钟放学？

Answer 1

分析：（1）前六分钟时，七年级单个楼梯口等待人数=12×时间；6分钟后七年级单个楼梯口等待人数=6×12-8×超过6分钟的时间，注意应根据等待的人数为非负数得到自变量的取值；
前六分钟时，八年级单个楼梯口等待人数=8×时间；6分钟后七年级单个楼梯口等待人数=6×8-16×超过6分钟的时间，注意应根据等待的人数为非负数得到自变量的取值；
（2）根据同时放学4、5楼不变，但2、3楼需要加八年级的人数，从而得出关系式求出即可；
（3）让（1）（2）得到的式子为80列式求值即可．

解答：解：（1）七年级：y=12t （0≤t≤6），
 y=72-8（t-6）=-8t+120   （15≥t＞6），
八年级：y=8t      （0≤t≤6），
 y=48-16（t-6）=144-16t（9≥t＞6）；

（2）同时放学：七、八年级单个楼梯口等待人数为：y=（12+8）t=20t（t≤6），
y=120-24（t-6）=-24t+264 （9≥t＞6），
∵等待人数超过80人时，即y＞80，
∴20t＞80，
∴t＞4，
∴6-4=2分钟，
∴-24t+264＞80，
∴t＜

23

3

，
∵t＞6，
∴

23

3

-6=

5

3

分钟，
∴等待人数超过80人所持续的时间为：2+

5

3

=

11

3

分钟；

（3）若八年级学生最好比七年级推迟五分钟放学时，即当t=5，
y=12t=12×5=60，第6分钟时，位于教学楼二、三楼的单个楼梯口等待人数为72＜80人，6分钟后逐渐减少，
∴八年级学生最好比七年级迟5分钟放学．

点评：此题主要考查了一次函数的应用，正确得出七、八年级在单个楼梯口等待人数与时间的关系式是解题关键．