Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，∠ABC＝∠CDA＝90°，BC＝CD，延长BC交AD的延长线于点E．

（1）求证：AB＝AD；

（2）若AE＝BE+DE，求∠BAC的值；

（3）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P，连接PB．设PB＝a，点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，点O与点E是否可能重合？若可能，请说明理由并求此时MO+PO的值（用含a的式子表示）；若不可能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）22.5°；（3）当MO+PO的值最小时，点O与点E可以重合，见解析，4a

【解析】

（1）证明Rt△ABC≌Rt△ADC即可；

（2）通过等量代换得出△ABE是等腰直角三角形，再由边角关系得出∠BAC的度数即可；

（3）根据题意画出图形，由现有条件得出MC平分∠PME，再根据角平分线的性质得出PC＝EC，根据轴对称知识得出点M、点E、点P关于直线AE的对称点Q，这三点共线，也即MO+PO的值最小时，点O与点E重合，最后通过边角运算得出最小值即可．

（1）证明：∵∠ABC＝∠CDA＝90°，

∵BC＝CD，AC＝AC，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．

∴AB＝AD．

（2）解：∵AE＝BE+DE，

又∵AE＝AD+DE，

∴AD＝BE．

∵AB＝AD，

∴AB＝BE．

∴∠BAD＝∠BEA．

∵∠ABC＝90°，

∴∠BAD═45°．

∵由（1）得△ABC≌△ADC，

∴∠BAC＝∠DAC．

∴∠BAC═22.5°．

（3）解：当MO+PO的值最小时，点O与点E可以重合，理由如下：

∵ME∥AB，

∴∠ABC＝∠MEC＝90°，∠MAB＝∠EMA．

∵MP⊥DC，

∴∠MPC＝90°．

∴∠MPC＝∠ADC＝90°．

∴PM∥AD．

∴∠EAM＝∠PMA．

由（1）得，Rt△ABC≌Rt△ADC，

∴∠EAC＝∠MAB，

∴∠EMA＝∠AMP．即MC平分∠PME．

又∵MP⊥CP，ME⊥CE，

∴PC＝EC．

如图，连接PB，连接PE，延长ME交PD的延长线于点Q．

设∠EAM＝α，则∠MAP＝α．

在Rt△ABE中，∠BEA＝90°﹣2α．

在Rt△CDE中，∠ECD＝90°﹣∠BEA＝2α．

∵PC＝EC，

∴∠PEB＝∠EPC＝∠ECD＝α．

∴∠PED＝∠BEA+∠PEB＝90°﹣α．

∵ME∥AB，

∴∠QED＝∠BAD＝2α．

当∠PED＝∠QED时，

∵∠PDE＝∠QDE，DE＝DE，

∴△PDE≌△QDE（ASA）．

∴PD＝DQ．

即点P与点Q关于直线AE成轴对称，也即点M、点E、点P关于直线AE的对称点Q，这三点共线，也即MO+PO的值最小时，点O与点E重合．

因为当∠PED＝∠QED时，90°﹣α＝2α，也即α＝30°．

所以，当∠ABD＝60°时，MO+PO取最小值时的点O与点E重合．

此时MO+PO的最小值即为ME+PE．

∵PC＝EC，∠PCB＝∠ECD，CB＝CD，

∴△PCB≌△ECD（SAS）．

∴∠CBP＝∠CDE＝90°．

∴∠CBP+∠ABC＝180°．

∴A，B，P三点共线．

当∠ABD＝60°时，在△PEA中，

∠PAE＝∠PEA＝60°．

∴∠EPA＝60°．

∴△PEA为等边三角形．

∵EB⊥AP，

∴AP＝2AB＝2a．

∴EP＝AE＝2a．

∵∠EMA＝∠EAM＝30°，

∴EM＝AE＝2a．

∴MO+PO的最小值为4a．