如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,.若动点D在线段AC上(不与点A、C重合),过点D作DE⊥AC交AB边于点E.
(1)当点D运动到线段AC中点时,DE= ;
(2)点A关于点D的对称点为点F,以FC为半径作⊙C,当DE= 时,⊙C与直线AB相切.
(1);(2)或
【解析】
试题分析:(1)∵∠C=90°,∠A=30°,,∴BC=,AC=。
∵∠C=90°,DE⊥AC,∴DE∥BC。
∵D为AC中点,∴E为AB中点。∴DE=。
(2)过C作CH⊥AB于H,
∵∠ACB=90°,BC=,,AC=6,
∴由三角形面积公式得: BC•AC=AB•CH,解得CH=3。
分为两种情况:
①如图1,∵CF=CH=3,∴AF=6-3=3。
∵A和F关于D对称,∴DF=AD=。
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ACB。∴,即,解得DE=。
②如图2,∵CF=CH=3,∴AF=6+3=9。
∵A和F关于D对称,∴DF=AD=。
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ACB。
∴,即,解得DE=。
综上所述,当DE=或时,⊙C与直线AB相切。
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