Question

【题目】如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，

（1）求证：△AMB≌△ENB；

（2）当M点在何处时，AM +CM的值最小，并说明理由；

（3）当M点在何处时，AM +BM +CM的值最小，并说明理由；

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线时，AM+CM的值最小；（3）当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长.

【解析】

（1）由题意得MB=NB，∠ABN=15°，所以∠EBN=45°，容易证出△AMB≌△ENB；
（2）根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；
（3）根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长（如图）；

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，

∴AB＝BC＝BE，∠ABE＝60°，

∵将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，

∴BN＝BM，∠MBN＝60°，

∴∠ABE＝∠MBN，

∴∠EBN＝∠ABM，且AB＝BE，MB＝NB，

∴△AMB≌△ENB（SAS）；

(2)当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线时，AM+CM的值最小；

(3)如图1，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，

理由如下：连接MN，

由（1）知，△AMB≌△ENB，

∴AM＝EN，

∵∠MBN＝60°，MB＝NB，

∴△BMN是等边三角形，

∴BM＝MN，

∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，

根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM＝EC最短，

∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长.