【题目】探究与应用.试完成下列问题:
(1)如图①,已知等腰Rt△ABC中,∠C=90°,点O为AB的中点,作∠POQ=90°,分别交AC、BC于点P、Q,连结PQ、CO,求证:AP2+BQ2=PQ2;
(2)如图②,将等腰Rt△ABC改为任意直角三角形,点O仍为AB的中点,∠POQ=90°,试探索上述结论AP2+BQ2=PQ2是否仍成立;
(3)通过上述探究(可直接运用上述结论),试解决下面的问题:如图③,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点O为AB的中点,过C、O两点的圆分别交AC、BC于P、Q,连结PQ,求△PCQ面积的最大值.
【答案】
(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,O为斜边AB中点,
∴AO=OC=OB,∠A=∠B=∠OCQ=45°,∠AOC=90°,
∵∠POQ=90°,
∴∠AOP+∠POC=∠POC+∠COQ,
∴∠AOP=∠COQ,
在△AOP和△COQ中
∴△AOP≌△COQ,
∴AP=CQ,
同理BQ=CP,
在Rt△CPQ中,CP2+CQ2=PQ2,
∴AP2+BQ2=PQ2
(2)解:还成立,
理由是:延长QO到D,使OD=OQ,连接AD,PD,
∵O是AB中点,
∴AO=OB,
在△AOD和△BOQ中
∴△AOD≌△BOQ(SAS),
∴AD=BQ,∠BAD=∠B,OD=OQ,
∵PO⊥OQ,
∴PD=PQ,
∵∠C=90°,
∴∠PAD=90°,
在Rt△PAD中,由勾股定理得:AP2+AD2=PD2,
∴AP2+BQ2=PQ2
(3)解:∵∠C=90°,
∴PQ是直径,
连接PO、OQ,则∠POQ=90°,
∴AP2+BQ2=PQ2,
设PC=a,CQ=b,
∴(6﹣a)2+(8﹣b)2=a2+b2,
∴3a+4b=25,
∴b=﹣ a+ ,
∵S△PCQ= ab,
∴S△PCQ=﹣ a2+ a=﹣ (a﹣ )2+ .
当a= 时,△PCQ的面积的最大值是
【解析】(1)证△APO≌△COQ,求出AP=CQ,同理求出BQ=CP,根据勾股定理求出即可;(2)延长QO到D,使OD=OQ,连接AD,PD,求出PD=PQ,证△AOD≌△BOQ,推出AD=BQ,∠BAD=∠B,OD=OQ,在Rt△PAD中,由勾股定理得:AP2+AD2=PD2 , 即可得出答案;(3)连接PO、OQ,则∠POQ=90°,根据勾股定理得出AP2+BQ2=PQ2 , 设PC=a,CQ=b,推出(6﹣a)2+(8﹣b)2=a2+b2 , 求出b=﹣ a+ ,代入S△PCQ= ab求出即可.
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【题目】如图,将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′,那么A(﹣2,5)的对应点A′的坐标是( )
A.(2,5)
B.(5,2)
C.(4, )
D.( ,4)
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【题目】为了美观,在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状(如图所示),对应的两条抛物线关于y轴对称,AE∥x轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,高CH=1cm,BD=2cm,则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为( )
A.y= (x+3)2
B.y= (x﹣3)2
C.y=﹣ (x+3)2
D.y=﹣ (x﹣3)2
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径,AE⊥CD,垂足为E,DA平分∠BDE.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若∠DBC=30°,DE=1cm,求BD的长.
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【题目】反比例函数y= (x>0)的图像经过线段OA的端点A,O为原点,作AB⊥x轴于点B,点B的坐标为(2,0),tan∠AOB= ,将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置,反比例函数y= (x>0)的图像恰好经过DC的中点E.
(1)求k的值和直线AE的函数表达式;
(2)若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N,请你探索线段AN与线段ME的大小关系,写出你的结论并说明理由.
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【题目】盐城市“创建文明城市”活动如火如荼的展开.某中学为了搞好“创建文明城市”活动的宣传,校学生会就本校学生对盐城“市情市况”的了解程度进行了一次调查测试.经过对测试成绩的分析,得到如下图所示的两幅不完整的统计图(A:59分及以下;B:60﹣69分;C:70﹣79分;D:80﹣89分;E:90﹣100分).请你根据图中提供的信息解答以下问题:
(1)求该校共有多少名学生;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)在扇形统计图中,计算出“60﹣69分”部分所对应的圆心角的度数.
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,D为AB的中点,∠EDF=90°,DE交AC于点G,DF经过点C.
(1)求∠ADE的度数;
(2)如图2,将图1中的∠EDF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<60°),旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E1DF1 , ∠E2DF2 , DE1交直线AC于点P,DF1交直线BC于点Q,DE2交直线AC于点M,DF2交直线BC于点N,求 的值;
(3)若图1中∠B=β(60°<β<90°),(2)中的其余条件不变,判断 的值是否为定值?如果是,请直接写出这个值(用含β的式子表示);如果不是,请说明理由.
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【题目】文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践,为了便于管理,所有人员必须乘坐在同一列火车上;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需17010元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需11220元;已知学生家长与教师的人数之比为2:1,文昌到三亚的火车票价格(部分)如下表所示:
运行区间 | 公布票价 | 学生票 | ||
上车站 | 下车站 | 一等座 | 二等座 | 二等座 |
文昌 | 三亚 | 81(元) | 68(元) | 51(元) |
(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?
(2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买x张(x小于参加社会实践的人数),其余的须买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票方案,并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式.
(3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买一个单程火车票至少要花多少钱?最多要花多少钱?
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