Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是边AC的中点，点E，F在边AB上，当△DEF是等腰三角形，且底角的正切值是时，△DEF腰长的值是_____．

Answer 1

【答案】或

【解析】

由勾股定理得出AB＝＝5，作DM⊥AB于M，由三角函数得出DM＝，分三种情况：①当DE＝DF时，②当ED＝EF时，作EN⊥DF于N，③当FE＝FD时，作FG⊥DE于G；由等腰三角形的性质、三角函数定义和勾股定理即可得出答案．

∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴AB＝＝5，

∵点D是边AC的中点，

∴AD＝AC＝2，作DM⊥AB于M，如图1所示：

∵sinA＝＝，

即＝，

∴DM＝，

分三种情况：

①当DE＝DF时，

∵tan∠DFE＝＝，

∴FM＝DM＝×＝，

∴DE＝DF＝＝＝；

②当ED＝EF时，作EN⊥DF于N，如图2所示：

由①得：DM＝，FM＝，DF＝；

∵EN⊥DF，∴FN＝DN＝DF＝，

∵tan∠EFD＝＝，

∴EN＝FN＝，

∴ED＝EF＝＝；

③当FE＝FD时，作FG⊥DE于G，如图3所示：

则EG＝DG，

同①得：EM＝，DE＝，

∴EG＝，

∵tan∠DEF＝＝，

∴GF＝EG＝，

∴EF＝＝；

综上所述，当△DEF是等腰三角形，且底角的正切值是时，△DEF腰长的值是或；

故答案为：或．