Question

8．如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（4，1），C（4，5），D（1，5），将一次函数y=x-3的图象L沿y轴以每秒1个单位的速度向上运动，设运动的时间为t秒，L扫过矩形的面积为S．
（1）t=0秒时，L经过点B；t=3秒时，L经过点A．
（2）试求当0≤t≤7时，S与t之间的关系．（用含t的式子表示S）

Answer 1

分析 （1）先根据平移的方向，设直线y=x-3向上平移t秒后得到的直线为y=x-3+t，再分别把点B和点A的坐标代入计算即可；
（2）分3种情况，利用直角三角形与直角梯形的面积公式进行计算，即可得到S与t之间的函数关系式．

解答 解：（1）设直线y=x-3向上平移t秒后，得到直线y=x-3+t，
把B（4，1）代入y=x-3+t，可得1=4-3+t，
解得t=0，
∴当t=0秒时，L经过点B；
把A（1，1）代入y=x-3+t，可得1=1-3+t，
解得t=3，
∴当t=3秒时，L经过点A；
故答案为：0，3；

（2）同理可得，当t=4秒时，L经过点C；当t=7秒时，L经过点D；
分三种情况：
①当0≤t≤3时，如图，

此时MB=t，NB=t，
∴S=${\frac{1}{2}t}^{2}$；
②当3＜t≤4时，如图，

此时，BM=t，AB=3，NA=t-3，
∴S=$\frac{（t-3+t）×3}{2}$=3t-$\frac{9}{2}$；
③当4＜t≤7时，DM=3-CM=3-（t-4）=7-t，DN=7-t，
∴S=3×4-$\frac{1}{2}$（7-t）²=-$\frac{1}{2}$t²+7t-$\frac{25}{2}$，

综上所述：S与运动时间t的函数关系为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{t}^{2}（0≤t＜3）}\\{3t-\frac{9}{2}（3≤t＜4）}\\{-\frac{1}{2}{t}^{2}+7t-\frac{25}{2}（4≤t≤7）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了矩形的性质、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及直角梯形的面积公式的运用，解题的关键是根据三角形和梯形的面积公式找出S关于t的关系式．解题时注意：需要结合图形的变化按时间t进行分类讨论．