Question

已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角．
（1）求证：BC=CD．
（2）若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”，其余条件不变，猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？请证明你的结论．
（3）探究：在（2）的情况下，如果再限制∠BAD=60°，那么相邻两边AB、AD和对角线AC之间有什么确定的数量关系？需说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC．
在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC．
∴BC=CD．

（2）解：一定相等．
证明：如图2，不妨设∠B为锐角，作CF⊥AB于F，则点F必在线段AB上，
∵∠B和∠D互为补角，
∴∠D是钝角，作CE⊥AD于E，
则点F必在线段AB的延长线上．
∴∠CBF与∠ABC互补．
∴∠D=∠CBF．
又∵AC是∠BAD的平分线，
∴CE=CF．
在Rt△BCF与Rt△DCE中，

∴Rt△BCF≌Rt△DCE，
∴BC=CD．

（3）解：AB+AD=AC．
理由是：图2中，由已知条件，易知AE=AF，DE=BF．
∴AB+AD=（AE+DE）+（AF-BF）=AE+AF=2AE．
当∠BAD=60°时，∠CAE=30°，AE=AC．
∴AB+AD=2AE=AC．
分析：（1）由AC平分∠BAD与∠B和∠D都是直角，以及AC是公共边，根据AAS即可证得△ABC≌△ADC，则可得BC=CD；
（2）首先不妨设∠B为锐角，作CE⊥AB于E，则点E必在线段AB上，由∠B和∠D互为补角，可得∠D是钝角，作CF⊥AD于F，则点F必在线段AD的延长线上，则可得∠D=∠CBF，又由AC是∠BAD的平分线，与CE=CF，即可证得Rt△BCF≌Rt△DCE，则可得BC=CD；
（3）在图2中，由已知条件，易知AE=AF，BE=DF，则可得AB+AD=（AE+BE）+（AF-DF）=AE+AF=2AE，则可证得AB+AD=2AE=AC．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．