Question

13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，AC∥x轴，A、B两点在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，延长CA交y轴于点D，AD=1．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）将△ABC绕点B顺时针旋转得到△EBF，使点C落在x轴上的点F处，点A的对应点为E，求旋转角的度数和点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）设A（1，k），再表示出B（3，k-4），则利用反比例函数图象上点的坐标特征得到3（k-4）=k，解方程求出k即可得到该反比例函数的解析式；
（2）作BM⊥x轴于M，EN⊥x轴于N，如图，根据旋转的性质得BF=BC=4，EF=AC=2，∠BFE=∠BCA=90°，∠CBF等于旋转角，再计算出BM=CM-BC=2，则在Rt△BMF中，利用三角函数可求出∠MBF=60°，MF=$\sqrt{3}$BM=2$\sqrt{3}$，于是得到旋转角为120°，然后证明Rt△BMF∽Rt△FNE，利用相似比求出FN和EN，从而可得到E点坐标．

解答 解：（1）∵AC∥x轴，AD=1，
∴A（1，k），
∵∠C=90°，AC=2，BC=4，
∴B（3，k-4），
∵点B在y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴3（k-4）=k，解得k=6，
∴该反比例函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$；
（2）作BM⊥x轴于M，EN⊥x轴于N，如图，
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△EBF，
∴BF=BC=4，EF=AC=2，∠BFE=∠BCA=90°，∠CBF等于旋转角，
∵BC⊥x轴，A（1，6），
∴BM=CM-BC=6-4=2，
在Rt△BMF中，∵cos∠MBF=$\frac{MB}{BF}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠MBF=60°，MF=$\sqrt{3}$BM=2$\sqrt{3}$，
∴∠CBF=180°-∠MBF=120°，
∴旋转角为120°；
∵∠BFM+∠MBF=90°，∠BFM+∠EFN=90°，
∴∠MBF=∠EFN，
∴Rt△BMF∽Rt△FNE，
∴$\frac{BM}{FN}$=$\frac{MF}{EN}$=$\frac{BF}{EF}$，即$\frac{2}{FN}$=$\frac{2\sqrt{3}}{NE}$=$\frac{4}{2}$，
∴FN=1，EN=$\sqrt{3}$，
∴ON=OM+MF+FN=3+2$\sqrt{3}$+1=4+2$\sqrt{3}$，
∴E点坐标为（4+2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk（k为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式．也考查了旋转的性质．解决本题的关键是作BM⊥x轴于M，EN⊥x轴于N，构建Rt△BMF∽Rt△FNE．